fonction concave

f: [0,1] → [0,∞) 2 fois dérivable et f "(x) ≤ 0 pour tout x ∈ [0,1].
L = lim (n→∞) n ∫_0^1 f(x)^n dx existe et 0 < L < ∞.
Montrer que f ' est de signe constant et min { |f '(x)|/x∈[0,1]} = 1/L.