Deux exercices de reccurence

http://latex.codecogs.com/gif.latex?(\forall%20n\in%20\mathbb{N})%20;%201+3+3^{2}+...+3^{n}=%20\frac{3^{n}+1}{2}

notre prof nous a donné cette 2eme proposition à résoudre par récurrence aussi on s'est acharné à la résoudre mais en vain après il nous a dis qu'il est impossible de la résoudre car elle est fausse. Il nous a demandé de chercher pourquoi et il l'a remanié en ça :

http://latex.codecogs.com/gif.latex?(\forall%20n\in%20\mathbb{N}*)%20;%201+3+3^{2}+...+3^{n-1}=%20\frac{3^{n-1}+1}{2}

YASS1NE a écrit:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?(\forall%20n\in%20\mathbb{N})%20;%201+3+3^{2}+...+3^{n}=%20\frac{3^{n}+1}{2}

notre prof nous a donné cette 2eme proposition à résoudre par récurrence aussi on s'est acharné à la résoudre mais en vain après il nous a dis qu'il est impossible de la résoudre car elle est fausse. Il nous a demandé de chercher pourquoi et il l'a remanié en ça :

http://latex.codecogs.com/gif.latex?(\forall%20n\in%20\mathbb{N}*)%20;%201+3+3^{2}+...+3^{n-1}=%20\frac{3^{n-1}+1}{2}

La premiére est fausse? xDD , premiérement n doit appartenir à IN* . Sinon prends n=0 ==> çelà est faux.
Bon voiçi la soluc avec la réccurence:

Pour n=n_i=1 ==> 1/(1*2)=1/(1+1) ==> vrai.
On suppose que P(n) est juste et on démontre que P(n+1) est aussi juste:

P(n+1)_RHS=(n+1)/(n+2) ;
P(n+1)_LHS=P(n)+1/((n+1)(n+2))=n/(n+1)+1/((n+1)(n+2))=(n+1)(n(n+2)+1)/((n+1)²(n+2))
=(n+1)²/((n+1)(n+2)=(n+1)/(n+2)

Donc P(n+1) est juste. D'ou P(n) est aussi juste. (Alors Mr?)

* Pour la deuxiéme pourquoi il est fausse?
C'est bien la méme chose ! Juste qu'il y a une petite différence, la premiére est définie sur IN* mais celle-çi sur IN.
* Pour la troisiéme est trés façile, remarquer que 3*3^{n-1)=3^n .

c'est la 2eme proposition qu'il a affirmé être fausse merci en tout cas.

salam

remarque:

1/k.(k+1) = 1/k - 1/(k+1)

====>1/1.2 + 1/2.3 + 1/3.4 + ......... + 1/n.(n+1)

= 1-1/2 + 1/2-1/3 + 1/3-1/4 + .......... +1/n - 1/(n+1)

= 1 - 1/(n+1) = n/(n+1)

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