irationalité de racine 3

Bonjour, j'espère que quelqu'un pourra m'aider a resoudre mon exercice? svp ,Démontrer que racine carré de 3 est irrationnel
comme l racine 2 j' utilise la raisonnoment par l'absurde;mais j' arretra à p2=3q2

je vous remercie d'avance.....

3/p puis 3/q .conclure

v3£/Q car il n'existe pas un m£IN tel que 3=m^2
en effet 3=m^2 ==>1<m^2<4 ==>1<m<2 absurde puisque m£IN;

PROPRIETE GENERALE:
qlq soit n£IN vn£Q <==> vn£IN

preuve:
<== ok
==> si vn=p/q alors q^2n=p^2 et donc q^2/p^2 <==>q^2/p^2*1 or pgcd(q^2,p^2)=1
==>par gauss q^2/1 ==>q^2=1

j'ai djà la montré :
p n' est pas divisible par 3=>p=3k+1 ou p=3k+2
=>p²=(3K+1)² ou p²=(3k+2)²
=>p²=3(3k²+2k)+1 ou p²=3(3k²+4k+1)+1
=>p² n'est pas divisible par 3

et merci

slm , ou bien avec les valuations p-adique !
v_3(V3)+v_3(V3)=2.v_3(V3)=1 ==> v_3(V3)=1/2 ==> cela n'est pas possible puisque les valuations p-adiques sont toujours entiers .

amazigh-tisffola a écrit:

PROPRIETE GENERALE:
qlq soit n£IN vn£Q <==> vn£IN

preuve:
<== ok
==> si vn=p/q alors q^2n=p^2 et donc q^2/p^2 <==>q^2/p^2*1 or pgcd(q^2,p^2)=1
==>par gauss q^2/1 ==>q^2=1

Ta propriété est trop trop intéréssante , pourrais tu m'expliquer ce que j'ai souligné en rouge ? ( deja je pense que tu voulais mettre p^2 / q^2 et après je n'ai pas compris le *1 que tu as fais , bref j'aimerai avoir des éclaircissement afin de pouvoir utiliser cette propriété durant l'examen

salam Mim,

on fait j'ai rien changer, juste multiplie le dénominateur par 1, c'et a dire (p^2)*1 , comme q^2 devise p^2 et pgcd(q^2,p^2)=1 ==>q^2/1.
q^2/p^2 <==>q^2/(p^2)*1
propriété de Gauss:
soit a, b et c des entiers,
si pgcd(a,b)=1 c'est a dire a et b sont premier entre eux et c'est a devise bc on écrit a/bc alors adevise c ( a/c)

ps:le c dans l'exercice c'est 1

Même si ce n'est pas la rubrique apropriée, je profite de cette discussion pour présenter une de mes qustions:
Afin de démontrer que , on suit la procédure suivante:
On a et .
Donc .
Et .
Que penseez vous?

BJR nmo !!

Je voulais seulement te faire remarquer que tu fais là une erreur SOURNOISE de LOGIQUE !!
Je t'en donne un exemple et tu comprendras :

1+rac(2) n'est pas dans Q
de même
1-rac(2) n'est pas dans Q
MAIS leur produit {1+rac(2)}.{1-rac(2)}=1-2=-1 est dans Q

A méditer alors .....

Amicalement . LHASSANE

lobna a écrit:

Bonjour, j'espère que quelqu'un pourra m'aider a resoudre mon exercice? svp ,Démontrer que racine carré de 3 est irrationnel
comme l racine 2 j' utilise la raisonnoment par l'absurde;mais j' arretra à p2=3q2

je vous remercie d'avance.....

BJR à Vous Toutes et Tous !!

En parcourant ce Topic , Je me suis aperçu que les Contributeurs avaient proposé des solutions basées sur des arguments divers ...
Le Théorème de GAUSS , quoique répondant à la question , n'est pas du niveau Lycée ( même BACSM ) !!
C'est un résultat très fort .

Par contre , j'ai eu quelque idée qui rejoint en force celle de salimt .
Elle mérite d'être développée ......

On arrive à p^2=3.q^2 si on suppose rac(3)=p/q avec p,q entiers PREMIERS ENTRE EUX et q>=1 ;
On déduit d'abord que 3 DIVISE p^2 .
Si on raisonnait Modulo 3 !!!!!
Si p=0 Modulo 3 alors p=3.k avec k entier donc p^2=9.k^2 et il n'y a aucun problème ....
Si p=1 Modulo 3 alors p=3.k+1 et de là p^2=3.{3.k^2 + 2.k}+1 et donc 3 ne divise pas p^2
Si p=2 Modulo 3 alors p=3.k+2 et de là p^2=3.{3.k^2 + 4.k+1}+1 et donc 3 ne divise pas p^2

En définitive , le seul cas ou 3 DIVISE p^2 est le cas ou 3 DIVISE p

Donc l'entier p est de la forme 3.k avec k entier et p^2=9.k^2=3.q^2
Une petite simplification donnera 3.k^2=q^2 et ainsi 3 DIVISE cette fois q^2
Par le même raisonnement que précédemment , on en déduit que 3 DIVISE q

Et si 3 DIVISE p et 3 DIVISE q alors la fraction (p/q) ne serait plus IRREDUCTIBLE et c'est là l'absurdité !!

Amicalement . LHASSANE

PS : Merci à salimt ....

ne pourrait-on pas utiliser le carré parfait?

hindou11 a écrit:

ne pourrait-on pas utiliser le carré parfait?

Je pense que c'est possible, voici une autre solution:
Je procède par absurde:
Supposons que .
On a .
Donc, il existe (x,y) un couple d'entiers relatifs (y#0), tel que et .
Donc .
Donc .
Donc .
Donc .==>(1)
Donc est pair.
Or, il est très connu que et ont la même parité.
Ainsi et sont pairs.==>(2)
D'où l'existance de deux eniers relatifs a et b tel que x-y=2a et x+y=2b.
Donc 1 équivaut à dire que .
Donc .
Donc est pair.
Or, y et ont la même parité.
D'où y est pair.==>(3)
En vertu de 2, il vient que x est pair.==>(4)
Remarquons que 3 et 4 prouvent que .
En contradiction avec l'hypothèse.
Donc .

Oui mais petit problème sur ta démonstration ,

(x-y)(x+y ) =2y²

Faut signaler que x > y . Or on a pas cette donnée

Ps : Désolé D'avoir remonter un topic aussi lointain mais sa me démangeait de savoir ça ;.

@Heikichi

Dans cette démonstration on a précédemment signalé que 3=x²/y²

démonstration par l'absurde. On écrit racine3=a/b avec (a,b)£R+ d'où 3=a2/b2. On démontre ainsi que 3/a et 3/b d'où pgcd(a,b)#1