Exercices de groupes

Salam
Voici quelques exercices de groupes :
1) Prouvez que IN = {2k:k€IN}U{2k+1:k€IN}
2) On a A={x€IR: |x|/(x²+1) <= 1/2 Prouvez que A = IR
3) On a A={cos(n(pi)):n€Z} Prouvez que A={(-1)^n:n€Z}
4) On a E={7n:n€IN} et F={4 divise n : n€IN} et G = {28n:n€IN}
Prouvez que E Inter F = G.
5) On a B={(x,y)€Z²: x²+y²=5}
1- Est-ce-que (0;V5) € B
2- Montrez que (x,y)€Z² => |x|<=2 et |y| <= 2.
3- Trouvez tous les couples (x,y) appartenant à B.

Exercices de groupes ? TD, quoi ?

AL MAJMOU3ATE xD voilà c bon?

Ensembles et non groupe!

salam
1) qlq n£IN n est pair ou impair donc n=2k ou n=2k+1 tq k£IN ==> INC{2k:k£IN}U{2k+1:k£IN}
l'autre inclusion est évidente d'ou IN={2k:k£IN}U{2k+1:k£IN}

tanmirt
ps:une petite erreur peut etre dans la 5)2) (x,y)£B^2 pas (x,y)£Z^2.

2)
qlq x£IR |x|/(x^2+1)<=1/2 <==>x^2-2|x|+1>=0 <==> |x|^2-2|x|+1>=0 <=> (|x|-1)^2>=0 ceci est vrai pour tout x dans IR
donc l'ensemble des x qui vérifie l'inégalité de A est IR tout entier, d'ou A=IR

3°
COS(npi)=1/2(exp(inpi)+exp(-inpi))=1/2((e^(ipi))^n + (e^(-ipi))^n) = 1/2((-1)^n + (-1)^n)=(-1)^n d'après EULER
d'ou A={COS(npi): n£Z}={(-1)^n: n£Z}

4) C)
on a E=7IN = mult(7)
F=4IN = mult(4)
G=28IN = mult(28)

soit n£G==> n=28k tq k£IN
n=4*7k=4k' tq k'=7k£IN ==>n£F
et n=7*4k=7*k'' avec k''=4k£IN ==>n£E
d'ou n£EinterF donc G C EinterF
l'autre inclusion:
n£E et n£F ==>n est multiple de 7 et 4 donc multiple de 4*7=28 ( on peut faire autrement )
donc n£G
d'ou G=EinterF

5°
1) (0,v5) n'appartiens pas a B car v5 n'est dans Z
2) peut etre tu veut dire que (x,y)£B^2
3)résoudre x^2 +y^2=5 dans Z^2 , B={l'ensemble des solutions}

Pour le 3 pas la peine d'utiliser exp :
voici une méthode :
n€ Z <=> n=2k ou n= 2k+1
n=2k<=> A={cos(2kpi):k€Z}<=>A={1:k€Z}<=>A={(-1)^n:n€Z} (1)
n=2k+1<=> A={(cos2kpi+pi:k€Z}<=>A={-1:k€Z}<=>A={(-1)^n:n€Z} (2)
Et de (1) et de (2) A={(-1)^n:n€Z}


J'attend vos confirmations

amazigh-tisffola a écrit:

5°
1) (0,v5) n'appartiens pas a B car v5 n'est dans Z
2) peut etre tu veut dire que (x,y)£B^2 il suffit de résoudre l'inéquation x^2 +y^2<=5 dans Z^2
3)résoudre x^2 +y^2=5 dans Z^2 , B={l'ensemble des solutions}

Ce qui est en rouge est faux!
Pourquoi résoudre l'inéquation ça ne mènera à rien !!

pour 5
2) x et y dans B => x^2+y^=5 <=> x^2=5-y^2>=0 <==> y^2<=5 <=>-v5<=y<=v5
==>|y|<=v5 comme y£Z donc |y|<=2
de meme pour x