S.C.I.

Soient f: IR ---> IR une fonction et a un réel.
On dit que f est semi-continue inférieurement en a si :
Quel que soit λ < f(a) ; il existe η > 0 ; quel que soit x réel ; (x appartient à ]-η+a,η+a[ ==> λ < f(x) ).
Il est facile de montrer que ceci est équivalent à :
Quel que soit λ < f(a) ; il existe η > 0 ; ]-η+a,η+a[ est inclus dans f^(-1)(]λ, +∞[).
Prouver que si f et g sont semi-continues inférieurement en a, alors f+g et sup(f,g) sont aussi semi-continues inférieurement en a.

bonsoir :-)

la semi continuité est une notion Topologique qui est très utile dans le domaine de l'optimisation ... alors f est semi continue inférieurement en a si pour tout c£IR, c<f(a), l'ensemble f^(-1)(]c,+00[) est un voisinage de a.

on suppose que f et g sont deux fonctions s.c.i:

soit e£IR tq e < f(a) + g(a), on pose t=f(a) + g(a) - e alors c'est clair que t>0 et on pose en outre u=f(a) - t/2 et v= g(a) - t/2 d'où e = u+v et puisque u< f(a) et v<g(a) ce qui prouve l'existence de deux voisinages V (=]-η+a,η+a[) et W (=]-µ+a;µ+a[) de a tq (f+g)(V n W) inclu ]t,+00[ d'où V n W C f^(-1)(]t,+00[)
donc f+g est s.c.i
...
l'autre c'est evident !!! je donne une generalisation soit (f_i)i£I une suite des fonctions s.c.i en a je pose h = sup(f_i) alors soit c£IR, c < h(a) alors il existe un j£ I tq c < f_j(a) ce qui montre que ]a-µ,a+µ[ C f_j^(-1)(]c,+00[) ==> ]a-µ,a+µ[ C h^(-1)(]c,+00[) d'où le résultat voulu ...

et Merci