URGENCES : Des suites numériques trop compliques !! Help !

Salut je vous poste ci dessous des photo d'une serie de Suite numérique a faire pour demin ! ( pour moi pas pour vous ) ===> Essayer de mle faire tout de suite si possible svp !!

Message suprime dsl

Un = [1- tan(pi/7) ] ^n
Sn = Sigma de k=0 jusqua n-1 a(k)

salut

midouvic a écrit:

Un = [1- tan(pi/7) ] ^n
Sn = Sigma de k=0 jusqua n-1 a(k)

an pas Un

pour les crochets le signifie pas la partie entière c sur!!

pour la question 1
an+1 = an *[1- tan(pi/7) ]
donc Sn = a0 * ( 1-[1- tan(pi/7) ]^(n) )/(1-[1- tan(pi/7) ])

la limite:
lim Sn = lim ( 1-[1- tan(pi/7) ]^(n) )/(tan(pi/7)) car a0 =1
puisque 0<1- tan(pi/7)<1 parceque 0<pi/7<pi/4 donc 0<tan(pi/7)<1 ....
donc la lim [1- tan(pi/7) ]^(n)=0
qui donne lim Sn = 1/(tan(pi/7))

pr la 2eme
a) par recurrence ...
b)on a wn+1 = Arctan (an + tan(wn))
donc tan (wn+1) = an + tan(wn) (wn+1 et wn ∈[0,pi/2[ )
donc tan (wn+1) - tan(wn) = an >0 car 0<1- tan(pi/7)<1.
qui veut dire que tan (wn+1) > tan(wn)
donc wn+1>wn parceque tan est impaire et croissante

2)b
puisque wn est croissante et majorée par pi/2 donc convergente

2)c
on a wn+1 = Arctan (an + tan(wn))
donc tan (wn+1) - tan(wn) = an
donc sigma (de i=1 a n-1) tan (wn+1) - tan(wn) = sigma (de i=1 a n-1) an
donne sigma (de i=1 a n-1) tan (wn+1) - tan(wn) =Sn
et on a sigma (de i=1 a n-1) tan (wn+1) - tan(wn) = tan(wn) - tan(w0)
et on a w0 = 0
donc sigma (de i=1 a n-1) tan (wn+1) - tan(wn) = tan(wn)
donc tan (wn) =Sn
autrement wn =Arctan (Sn)
la limite :
lim wn = lim Arctan (Sn) = Arctan (1/(tan(pi/7))) = Arctan (pi/2 - pi/7)
= 5 pi /14

as tu compris ?

Svp je demande la demonstration de la recurrence pour 2/ alif

d'accord

Oui OUI merci matdonle !!! C'est plus clair !! je demande juste la recurrence j'arrive pas a la faire !!

2)alif
pour n = 0 w0 = 0 et 0 ∈[0,pi/2[ vrai
on suppose que wn ∈[0,pi/2[
et on demontre que wn+1 ∈[0,pi/2[

on a wn ∈[0,pi/2[ donc 0<wn<pi/2 donc 0<tan (wn)
et on a an>0 donc 0<tan(wn) + an donc 0<Arctan (tan(wn) + an )
et on sait que -pi/2<Arctan <pi/2
puisque 0<Arctan (tan(wn) + an ) donc 0<Arctan (tan(wn) + an )<pi/2
donc wn+1 ∈[0,pi/2[

Mercii trop mec !!

ya pas de koi