C PAS DU JEU!

Soit In=integrale(allant de 0 a +00)de t^n*exp(-t^2)dt. 1 )Montrer que la suite In est bien definie. 2)Montrer que pour tout n€N,In+1=[(n+1)/2]In. 3)En deduire la valeur de In en fonction de n.On admettra que integrale (allant de 0 a +00)de exp(-t^2)dt=(racine de pi)/2.

salam:

1) fn:t|------>t^n*exp(-t^2)dt continue sur [0,+00[ et fn(0)=0 et lim+00fn(t)=0
l'intégrale généralisé existe et est bien définie, pas fini la preuve!
2)par intégration par parties. on a In+1=int_0,+00(t^n+1 exp(-t^2)dt=int_0,+00(t^n*t exp(-t^2)dt=[-t^n*exp(-t^2)/2]0_+00 +int((n+1)/2(t^n*exp(-t^2))dt
comme [-t^n*exp(-t^2)/2]0_+00 =0==> In+1=(n+1)/2int(t^n*exp(-t^2))dt=(n+1)/2In.
3) In=(n!/2^n)sqrt(pi)/2

tanmirt

amazigh-tisffola a écrit:

salam:

1) fn:t|------>t^n*exp(-t^2)dt continue sur [0,+00[ et fn(0)=0 et lim+00fn(t)=0
==> l'intégrale généralisé existe et est bien définie.
2)par intégration par parties. on a In+1=int_0,+00(t^n+1 exp(-t^2)dt=int_0,+00(t^n*t exp(-t^2)dt=[-t^n*exp(-t^2)/2]0_+00 +int((n+1)/2(t^n*exp(-t^2))dt
comme [-t^n*exp(-t^2)/2]0_+00 =0==> In+1=(n+1)/2int(t^n*exp(-t^2))dt=(n+1)/2In.
3) In=(n!/2^n)sqrt(pi)/2

tanmirt

BJR amazigh-tisfolla !!
Il y des problèmes ICI :
<< lim+00fn(t)=0
==> l'intégrale généralisé existe et est bien définie >>

Je vous ai envoyé un MP à ce sujet ....
J'effacerais mon Post plus tard ....

LHASSANE

Je pense kil a 1e erreur bison fute car ce n'est pas parce que l'integrale existe kel est b1 definie.ou b1?

Tes d'accord avec mw Buson fute?

on a lim+00(t^2nexp(-t^2))=0. pour n>1 on a lim+00 t^nf(t)=0 alors |f(t)|=o(1/t^n) et int'{1,+00}f(t)dt converge absolument donc converge.

konan a écrit:

Soit In=integrale(allant de 0 a +00)de t^n*exp(-t^2)dt.
1 )Montrer que la suite In est bien definie.
2)Montrer que pour tout n€N,In+1=[(n+1)/2]In.
3)En deduire la valeur de In en
fonction de n.On admettra que integrale (allant de 0 a +00)de exp(-t^2)dt=(racine de pi)/2.

BSR amazigh-tisfolla !!

Je pense que tu ne m'as pas compris !!
konan a introduit une famille d'intégrales ( à priori IMPROPRES ) In pour n entier naturel .
Il s'agit de vérifier que ces intégrales qui sont IMPROPRES à la fois au voisinage de ZERO et en +oo
EXISTENT BIEN ( ce sont des réels de manière à passer à la Question 2)) et donc sont selon la terminologie CONVERGENTES .

1) Au voisinage de 0+ , il n'y a pas de problème puisque pour chaque entier naturel n on a fn(t) est EQUIVALENTE à t^n dont l'intégrale est toujours convergente en 0+ .
Les seuls cas de DIVERGENCE sont pour n<=-1 CE QUI N'EST PAS REALISE ICI .....

2) Au voisinage de +oo , on doit utiliser la CROISSANCE COMPAREE de la fonction exponentielle
et de la fonction puissance .
De manière précise , pour tout entier naturel n on a :
Lim t^2.fn(t)=Lim { t^(n+2).exp(-t^2) }= 0 lorsque t---> +oo
Donc il existe un réel A>0 tel que pour t>=A on ait 0<=fn(t)<=1/t^2
Il résulte alors que fn est dominée pour t assez grand par une fonction t ---> t^(-2) dont l'intégrale généralisée converge en +oo .

Et celà garantit la CONVERGENCE de In en +oo .
Ne pas oublier aussi que les fonctions fn sont toutes POSITIVES donc Convergente ou Absolument Convergente c'est pareil .....

Amicalement . LHASSANE


PS : Pour la Question 2) , il faut faire une IPP sur des segments [0;R] avec R>0 et puis faire tendre R vers +oo , de cette manière vous obtiendrez la relation de récurrence annoncée !!
N'oubliez JAMAIS , une IPP concerne une intégrale définie sur un SEGMENT !!

c juste BUSON FUTE! tres bonne demonstration pour la premiere question.je te felicite!

konan a écrit:

c juste BUSON FUTE! tres bonne demonstration pour la premiere question.je te felicite!

BJR konan !!
Merci ... Moi, c'est Bison_Fûté et non ce que tu as écrit .....
Je suis intervenu sur ton Topic , c'était pour corriger certaines erreurs faites par amazigh-tisfolla .
C'est mon habitude ...C'est plus fort que Moi , je n'aime pas laisser trainer des erreurs surtout celles de niveau Prépas !!!
J'espère qu'amazigh-tisfolla n'a pas été vexé par ma démarche ....

Amicalement . LHASSANE

salam Mr LHASSANE:

Je suis pas vexé du tout, j'ai reconnu bien mes erreurs de inattentions et de rapidité sans réfléchir. comment ca faite du bien de corrigé ces erreurs.

tanmirt

Escuze moi LHASSANE!c pas de ma faute c juste le clavier qui deconne.Mais quelle profession fais tu?