Un=<L=<Vn

Montrer que si (Un) et (Vn) sont adjacentes alors leur limite commune L vérifie:
(pour tt n de IN) Un=<L=<Vn
(en supposant Un croissante et (Vn) décroissante)

Bonjour et AID MOUBARAK SAID ,

on peut raisonner par l'absurde.

*montrons d'abord que pour tout n dans lN , Un =< L.
Supposons qu'il existe p dans lN tel que Up > L. On a alors pour tout n >= p,
Un >= Up ( car (Un) est croissante ). Par passage à la limite , on obtient L >= Up.
Or Up > L , donc L > L ; ce qui est absurde .Donc pour tout n dans lN, Un =< L.

*Je te laisse montrer que pour tout n dans lN , L =< Vn ( en effectuant un raisonnement " analogue" au précédent ).

bonjour et Aid moubarak said
et si on procède par une autre méthode en prouvant que Un=<Vn, est ce que cette dernière peut nous aider à qqch ?

Bonsoir ,

on peut faire autrement en exploitant le fait que pour tout n dans lN ,Un =< Vn.

* On montre tout d'abord que pour tout m , n dans lN ; Um =< Vn (1) :
Soient m et n dans lN.
Si m =< n ,alors Um =< Un car (Un) est croissante. Or Un =< Vn , donc
Um =< Vn.
Si m>n,alors Vm =< Vn car (Vn) est décroissante.Or Um =< Vm , donc
Um =< Vn.
Dans les deux cas , on arrive à : Um =< Vn.

*Dans (1) , en fixant m et en faisant tendre n vers + l'infini ;on obtient
Um =< L.
Dans (1) , en fixant n et en faisant tendre m vers + l'infini ; on obtient
L =< Vn.
En conclusion : pour tout m , n danslN ; Um =< L =< Vn.
Donc pour tout n dans lN , Un =< L =< Vn (résultat obtenu en prenant m=n)

salam

de l'ordre SVP!!

le point de départ est :
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Deux suites adjacentes , donc (Un) croissante , (Vn) décroissante et lim(Un-Vn)=0

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théorème : de telles suites convergent vers la même limite L

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la question est : montrer que : Un < L < Vn ?? (sens large )
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réponse:

(Un) croissante ===> Un < L

(Vn) décroissante ===> L < Vn

donc : Un < L < Vn

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A quoi bon faire des discours de philosophie ??

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Bonsoir houssa,

la démonstration du théorème que tu as cité repose sur le fait que :(Un) est croissante majorée (donc converge vers un réel L) , (Vn) est décroissante minorée(donc converge vers un réel L' ) ,et lim (Un - Vn) =0 permet de conclure que L = L'.

De plus : toute suite (Un) croissante majorée converge vers la borne supérieure de { Un , n dans lN} et toute suite (Vn) décroissante minorée converge vers la borne inférieure de {Vn , n dans lN}.
Il me semble que ce sont ces deux dernières propriétés que tu as utilisé lorsque tu as affirmé que Un < L et L < Vn ( sens large). Malheureusement , l'élève de terminale sciences maths (marocain) n'étudie pas les notions de borne supérieure et de borne inférieure .C'est la raison pour laquelle j'ai proposé à l'élève qui a posé la question une première méthode basée sur le raisonnement par l'absurde et une seconde méthode (que tu as qualifié de discours de philosophie) suite à sa demande qui consistait à savoir si la propriété Un =< Vn pourrait l'aider à aboutir au résultat.

Bonjour houssa,

si tu as des démonstrations simples de ce que tu affirmes dans ton message d'hier(21h31mn) : (Un) croissante ====> Un <L
(Vn) décroissante===>L < Vn
(démonstrations adaptées au niveau d'un élève de terminale sciences maths ) ,je suis preneur.

Merci .

salam haiki55

je te remercie pour tes efforts.

au programme de terminale S , il y a :

définition : deux suites adjacentes sont...........
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théorème : deux suites adjacentes sont convergentes vers la même limite.
======
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la question posée : montrer que :Un < L < Vn
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Ce que je comprend , c'est répondre en utilisant les acquis du cours .

je sais que (Un) est croissante , qu'elle converge vers L =====> Un < L.

de même , (Vn) est décroissante , et converge vers L =====> L < Vn.

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Où est donc la difficulté ??

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houssa a écrit:

salam


réponse:

(Un) croissante ===> Un < L

(Vn) décroissante ===> L < Vn

donc : Un < L < Vn


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comment vous avez montrer les deux lignes on rouge , si il sont deux propriété alors que nous l'avons pas dans le programme !

Citation :

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A quoi bon faire des discours de philosophie ??

c parcque j'aime résoudre l'ex avec plusieurs méthode !!!

merci bien haiki55 pour ton aide