exo

a et b sont deux nombres de IR
démontre que (a²+1)(b²+1) est plus grand ou égal à 4ab
puis cherche le cas d'égalité !!!

enjoy !!!!!!![i][u]

Salam à tous le monde!
si a=b=0 1>=0 ce qui est vrai
si a=0 ou b=0 on aura qq chose positif >=0 ce qui est vrai!
si a!=0 et b!=0
On a ab+a/b+b/a+1/ab>=4 (car A+1/A>=2)
on multiplie par ab:
a²b²+a²+b²+1>=4
d'où
(a²+1)(b²+1)>=4
Le cas d'égalité a=b=1

dsl mais c faux l'énoncé dit démontre que (a²+1)(b²+1) >= 4ab mais tu as démontré que (a²+1)(b²+1)>=4
voila comment j'ai fait
on a a²+b² >= 2ab
et on a a²b² + 1 >= 2ab
alors a²+b²+a²b²+1 >= 4ab

d'où (a²+1)(b²+1)>=4ab (pas 4 )
pour le cas d'égalité
(a²+1)(b²+1)=4ab
......... et c à vouus de terminer

ali-mes a écrit:

dsl mais c faux l'énoncé dit démontre que (a²+1)(b²+1) >= 4ab mais tu as démontré que (a²+1)(b²+1)>=4
voila comment j'ai fait
on a a²+b² >= 2ab
et on a a²b² + 1 >= 2ab
alors a²+b²+a²b²+1 >= 4ab

d'où (a²+1)(b²+1)>=4ab (pas 4 )
pour le cas d'égalité
(a²+1)(b²+1)=4ab
......... et c à vouus de terminer car je n'arrive pas a la solution :p

Le cas d'égalité c'est pas ça
quand on demande le cas d'égalité , ça veut dire , quelles valeurs prennent a et b pur que l'INEGALITE devient EGALITE !
Dans ton exercice , le cas d'égalité a lieu quand a=b=1 !Ma question alors : Pourquoi a=b=1 ?
Bonne chance
P.S: la preuve d'achraf est correcte ! sauf qu'il a oublié de multiplier le côté d'à droite par ab

Salam!
C juste une petite faute de frappe! je vais pas changé qu'après tu vois bien ce que j'ai écrit! j'ai dit on multiplions par ab mais j'ai pas tapé ab, j'ai gardé 4 c tt! il faut bien voir les choses!

sorry my bad !!!!
je dois vérifier mes lunettes hhhhh

pour la question de tarask:
(a²+1)(b²+1)=4ab
a²b²+a²+b²+1=4ab
a²b²+1-2ab+a²+b²-2ab=0
(ab-1)²+(a-b)²=0
==> (ab-1)²=0 et (a-b)²=0
==>ab=1 et a=b ==> a²=1 ==> S={(1,1);(-1,-1)}
donc il y a deux cas d'égalité .

achraf_djy a écrit:

pour la question de tarask:
(a²+1)(b²+1)=4ab
a²b²+a²+b²+1=4ab
a²b²+1-2ab+a²+b²-2ab=0
(ab-1)²+(a-b)²=0
==> (ab-1)²=0 et (a-b)²=0
==>ab=1 et a=b ==> a²=1 ==> S={(1,1);(-1,-1)}
donc il y a deux cas d'égalité .

Exact
Celà découle du fait qu'on a utilisé IAG

Je veux poster un exo à ali!
résoudre l'inégalité : cos(sin(x))>=sin(cos(x))

a²+1>2a et b²+1>2b On multiplie
Le cas d'égalité est a²+1=2a et b²+1=2b donc a=b=1
CQFD Pourquoi se casser la tête ?

Bon je vé la résoudre dans [0;pi/2]
posons sin x =a et cos x =b
l'inégaité équivaut ) cosa > sin b
et (a;b)€ [-1;1]
donc -pi/3 <(a et b ) < pi/3
donc 1/2 < cos a < 1 et -V3/2<sin b <V3/2
donc cos a > sin b lorsque cos a € [ V3/2 ; 1]
donc a € [0;pi/6] donc x € [ cos^-1 (pi/6);pi/2]

J'ai résout juste une petite partie du problème j'ai pas le temps maintenant je résout le problème dans ma tête
Mais en gros c'est la façon de procéder ..
Tracer le cercle triangulaire et bien analyer ..

on a pas déjà fait les équations et inéquations trigonométriques

Mehdi.O a écrit:

a²+1>2a et b²+1>2b On multiplie
Le cas d'égalité est a²+1=2a et b²+1=2b donc a=b=1
CQFD Pourquoi se casser la tête ?

c faux on peut pas multiplier car l'énoncé dit que a et b de IR = alors a et b sont pas nécessairement positifs

D'acr ali!
pour mehdi je suis avec ali!

achraf_djy a écrit:

D'acr ali!
pour mehdi je suis avec ali!

Si vous me permeter d'intervenir par methode de TC:

On veut démontrer que (a²+1)(b²+1)>=4ab ,
* Si a et b ont deux signes différents: ab=<0 => -4ab>=0 c'est évident que (a²+1)(b²+1)>=1
alors (a²+1)(b²+1)-4ab>=1 ==> prouvé. Il n'y a pas un cas d'égalité vérifiant l'énoncé car dans ce cas
(a²+1)(b²+1)>4ab.

* Si a et b ont le méme signe: 1ér CAS: a>0 et b>0 :
Le cas d'égalité de l'inégalité (a²+1)(b²+1)>=4ab c'est quand (a²+1)(b²+1)=4ab=2a*2b. Et puisque a²+1>=2a et b²+1>=2b Alors l'égalité sera quand a²+1=2a et b²+1=2b donc (a-1)²=0=(b-1)² => a=b=1

2éme CAS: a<0 et b<0 :
Premiérement: ab>0 => 4ab>0 (1) (a²+1)(b²+1)=(a²b²+1)+(a²+b²)>=2ab+2ab=4ab.
Le cas d'égalité c'est quand (a²+1)(b²+1)=4ab c'est la méme chose que (a>0 et b>0) Ca veut dire quand
(a²+1)(b²+1)=4=4ab alors ab=1 => a=b=-1 (car a<0, b<0).

On en déduit que le cas d'égalité est réalisé quand a=b=1 ou a=b=-1.

M.Marjani a écrit:

achraf_djy a écrit:

D'acr ali!
pour mehdi je suis avec ali!

Si vous me permeter d'intervenir par methode de TC:

On veut démontrer que (a²+1)(b²+1)>=4ab ,
* Si a et b ont deux signes différents: ab=<0 => -4ab>=0 c'est évident que (a²+1)(b²+1)>=1
alors (a²+1)(b²+1)-4ab>=1 ==> prouvé. Il n'y a pas un cas d'égalité vérifiant l'énoncé car dans ce cas
(a²+1)(b²+1)>4ab.

* Si a et b ont le méme signe: 1ér CAS: a>0 et b>0 :
Le cas d'égalité de l'inégalité (a²+1)(b²+1)>=4ab c'est quand (a²+1)(b²+1)=4ab=2a*2b. Et puisque a²+1>=2a et b²+1>=2b Alors l'égalité sera quand a²+1=2a et b²+1=2b donc (a-1)²=0=(b-1)² => a=b=1

2éme CAS: a<0 et b<0 :
Premiérement: ab>0 => 4ab>0 (1) (a²+1)(b²+1)=(a²b²+1)+(a²+b²)>=2ab+2ab=4ab.
Le cas d'égalité c'est quand (a²+1)(b²+1)=4ab c'est la méme chose que (a>0 et b>0) Ca veut dire quand
(a²+1)(b²+1)=4=4ab alors ab=1 => a=b=-1 (car a<0, b<0).

On en déduit que le cas d'égalité est réalisé quand a=b=1 ou a=b=-1.

M.Marjani j'aime bien ta méthode

voila comment j'ai fait (simple )
on a a²+b² >= 2ab
et on a a²b² + 1 >= 2ab
alors a²+b²+a²b²+1 >= 4ab

d'où (a²+1)(b²+1)>=4ab
pour le cas d'égalité
(a²+1)(b²+1)=4ab
a²b²+a²+b²+1=4ab
a²b²+1+a²+b²-4ab=0
(a²b²-2ab+1)+(a²-2ab+b²)=0
(ab-1)²+(a-b)²=0
et puisque (ab-1)>=0 et (a-b)²>=0
alors (ab-1)²=0 d'où ab = 1 et (a-b)²= 0 d'où a=b

enfin on conclue qu'on aura une égalité si a=b=1 ou a=b=-1

ali-mes a écrit:

M.Marjani a écrit:

achraf_djy a écrit:

D'acr ali!
pour mehdi je suis avec ali!

Si vous me permeter d'intervenir par methode de TC:

On veut démontrer que (a²+1)(b²+1)>=4ab ,
* Si a et b ont deux signes différents: ab=<0 => -4ab>=0 c'est évident que (a²+1)(b²+1)>=1
alors (a²+1)(b²+1)-4ab>=1 ==> prouvé. Il n'y a pas un cas d'égalité vérifiant l'énoncé car dans ce cas
(a²+1)(b²+1)>4ab.

* Si a et b ont le méme signe: 1ér CAS: a>0 et b>0 :
Le cas d'égalité de l'inégalité (a²+1)(b²+1)>=4ab c'est quand (a²+1)(b²+1)=4ab=2a*2b. Et puisque a²+1>=2a et b²+1>=2b Alors l'égalité sera quand a²+1=2a et b²+1=2b donc (a-1)²=0=(b-1)² => a=b=1

2éme CAS: a<0 et b<0 :
Premiérement: ab>0 => 4ab>0 (1) (a²+1)(b²+1)=(a²b²+1)+(a²+b²)>=2ab+2ab=4ab.
Le cas d'égalité c'est quand (a²+1)(b²+1)=4ab c'est la méme chose que (a>0 et b>0) Ca veut dire quand
(a²+1)(b²+1)=4=4ab alors ab=1 => a=b=-1 (car a<0, b<0).

On en déduit que le cas d'égalité est réalisé quand a=b=1 ou a=b=-1.

M.Marjani j'aime bien ta méthode

voila comment j'ai fait (simple )
on a a²+b² >= 2ab
et on a a²b² + 1 >= 2ab
alors a²+b²+a²b²+1 >= 4ab

d'où (a²+1)(b²+1)>=4ab
pour le cas d'égalité
(a²+1)(b²+1)=4ab
a²b²+a²+b²+1=4ab
a²b²+1+a²+b²-4ab=0
(a²b²-2ab+1)+(a²-2ab+b²)=0
(ab-1)²+(a-b)²=0
et puisque (ab-1)>=0 et (a-b)²>=0
alors (ab-1)²=0 d'où ab = 1 et (a-b)²= 0 d'où a=b

enfin on conclue qu'on aura une égalité si a=b=1 ou a=b=-1

C'est joli

Il vous reste l'exercise de Achraf_dyj:

Citation :

Je veux poster un exo à ali!
résoudre l'inégalité : cos(sin(x))>=sin(cos(x))

C'est interessant.

j'ai deja dit que chui en TC on a pas deja fait les inéquations trigonométriques !!!
but i'm gonna keep this exercise in my mind as soon as we'll do the lesson i'm gonna try to solve this exercise !!!!!