olympiade

salut voila un autre exercice d'olympiade:
a,b,c sont des nombres strictement positifs
démontrez que
racine(2a/a+b) + racine(2b/b+c) + racine(2c/c+a) est inférieur ou égal 3.
aidez moi merci d'avance:lol!:

salut tout le monde c'est mon premier poste j'apprécie énormément vos efforts j'apprécie également l'organisation du site très organisé et les exercices sont très concentrés :
voila ce que je propose comme solution :
supposons que:
a<b<c
donc 2a<a+b et 2b<b+c et 2a<a+c
alors 2a/a+b<1 et 2b/b+c<1 et 2c/a+c<1
de meme pour les racines carrés, et on additionnant les membres de ces trois inégalités on a :
racine(2a/a+b) + racine(2b/b+c) + racine(2c/c+a) est inférieur ou égal 3
Je sais que c'est trop faible comme démonstration , mais j'aimerais tant adresser une question aux plus expérimentés:
est ce que ce "par symétrie des roles on donne que a<b<c" est admissible , personnellement je ne suis pas convaincu .

non je crois que vous avez fait une faute benmadine
si on a a<b<c alors 2c>a+c donc 2c/a+c> et non pa inférieur
quelqu'un peut répondre stp?

salut je pense que cet excercice ne peut po être résolu sauf si on considère qui A<B<C alors je pense que rim a oublié d écrire cela aux données
et benmedamine a raison

benmedamine a écrit:

est ce que ce "par symétrie des roles on donne que a<b<c" est admissible , personnellement je ne suis pas convaincu .

l inegalite n est pas symetrique car si tu changes les roles de a,b , c tu trouves pas la meme inegalite

exemple :
a+b+c est symetrique car meme si tu changes les roles l expression ne change pas
par contre a+b-c n est pas symetriique car si tu changes les roles tu vas trouver une autre expression

Oui exactement Mr Bel_jad5 c'est pour ca qu'a la particularité des exercices on considère et par symétrie des roles que :
a<b<c , ce n'est plutot pas logique mais on doit l'accepter.

t a pas compris ce que j ai dit, t a pas le droit de supposer que a>=b>=c que si l expression est symétrique.

f est une fonction symétrique si et seulement si le changement des roles ne change pas l expression c a d : f(a,b,c) = f(x,y,z) avec {x,y,z}={a,b,c}

no mohammad c'était tout l'énoncé de l'exercice il n y avait ni a>b>c ni a<b<c.
il y a aucunes autres réponses?

L'inégalité est fausse. Il suffit de considérer : (a,b,c)=(1,2,3).

Elle l'est également fausse si on demande de démontrer l'inégalité pour les côtés de triangles. (1,2,3) en est la preuve.

je crois que vous n'avez pa très bien compris l'exercice
racine de (2a/a+b) veut dire rac(2a)/rac(a+b).
de meme pour (2b/b+c) et (2c/c+a).
et puis j'ai vérifié l'inigalité pour (a,b,c)=(1,2,3) et j'ai trouvé qu'elle correcte car ça donne 2.935668643.....
et 2.935668643..... =<3
donc je ne sais pas pourquoi vous dites que l'inégalité est fausse

A Mlle Rim. T'as raison, j'ai mal lu l'exercice. En guise d'excuse voilà la solution:

1- Essayons d'abord de rendre l'inégalité symétrique

Il est facile de vérifier que les couples (a,b,c) et (1/b+c,1/c+a,1/a+b) sont classés dans le même ordre. Il en est évidemment de même pour les couples (racine(2a),racine(2b),racine(2c)) et (1/racine(b+c),1/racine(c+a),1/racine(a+b)).
D'après le théorème de réarangement, on a : A>=B
où B =racine(2a/a+b)+racine(2b/b+c)+racine(2c/c+a)
et A=racine(2a/b+c)+racine(2b/c+a)+racine(2c/a+b)
Il suffit donc de démontrer que A<=3
A étant symétrique. On a donc rendu le problème symétrique

2- Démontrons l'inégalité en profitant de l'homégénéité de A
A reste inchangé si on remplace (a,b,c) par (ta,tb,tc) pour t quelconque (>0).
A est donc homogène de degré 1.
on peut alors supposer que : a+b+c=1 (correspond à t=1/(a+b+c))).
Dans ce cas:
A=racine(2a/1-a)+racine(2b/1-c)+racine(2c/1-c)
= racine(2/(1/a-1))+racine(2/(1/b-1))+racine(2/(1/c-1)).

La fonction f:x--->racine(2/(1/x-1)) est concave sur >0,1< (sa dérivée seconde y est négative).
A = f(a)+f(b)+f(c)<=3*f((a+b+c)/3)=3f(1/3)=3

cqfd

l'exuse est acceptée et merci pour la réponse
mais jai des questions
la première partie je l'ai compris mais la deuxième jai pas saisi:
1) pourquoi vous avez mis a+b+c=1 ? parce qu'on ne la pas dans l'exercice.
2)comment vous avez sauté de :
rac(2a/1-a) à rac(2/(1/a-1)).
j'attends ta réponse et merci.

bsr RIM
1) pourqoui on a pris a+b+c=1?
C'est facile. A vrai dire ça n'ajoute pas grand chose à la démonstration de considérer a+b+c=S au lieu de a+b+c=1, sinon UNE TOUCHE D'ELEGANCE dans la démonstration.
Si je puis me permettre de donner des conseils, ayez ce réflexe : quand une inégalité est homogème, considérer a+b+c=1. Voici la preuve:
f(ta,tb,tc)=f(a,b,c)
on prend t=1/(a+b+c). (a',b',c')=(ta,tb,tc) vérifie:
a'+b'+c'=1.
Donc au lieu de travailler avec (a,b,c), on travaille avec (a',b',c') puisque f(a',b',c')=f(a,b,c), qui a l'avantge de simplifier les calculs (a'+b'+c').

Tu peux reprendre la démonstration avec a+b+c=S. rien ne change. Mais c'est moins élégant.
2) 2a/(1-a)=2/(1/a-1)
Evident: on divise le dénominateur et le numérateur par la même valeur : a.

Désolé abbas mais la fonction n'est pas concave sur [1/3,1].l'inegalité que tu désires montrer n'est pas vérifiée pour (1/2,1/4,1/4) par exemple

Bonjour,

Notons : A = Racine(2a/a+b)+Racine(2b/b+c)+Racine(2c/c+a) ,

en écrivant :

Racine(2a/a+b) = Racine(a+c).Racine(2a/((a+b)(a+c))) ,

Racine(2b/b+c) = Racine(b+a).Racine(2b/((b+c)(b+a))) et ,

Racine(2c/c+a) = Racine(c+b).Racine(2c/((c+a)(c+b)))

on a par l'inégalité de Cauchy-Schwarz :

A² =< [2a+2b+2c)].[2a/((a+b)(a+c))+Racine(2b/((b+c)(b+a))+Racine(2c/((c+a)(c+b))]

c'est à dire :

A² =< [8(a+b+c)(ab+bc+ca)] / [(a+b)(b+c)(c+a)]

d'où :

9 - A² >= [9(a+b)(b+c)(c+a)-8(a+b+c)(ab+bc+ca)] / [(a+b)(b+c)(c+a)]

soit après simplification :

9 - A² >= [a(b-c)²+b(c-a)²+c(a-b)²] / [(a+b)(b+c)(c+a)] >= 0

et on conclut alors que :

Racine(2a/a+b)+Racine(2b/b+c)+Racine(2c/c+a) =< 3 avec égalité si et seulement si a=b=c    sauf erreur bien entendu

Oups ! une erreur de frappe

lire plutôt :

on a par l'inégalité de Cauchy-Schwarz :

A² =< [ 2a + 2b + 2c ].[ 2a/((a+b)(a+c)) + 2b/((b+c)(b+a)) + 2c/((c+a)(c+b)) ]