existence d'une fonction

existe il une fct continue de R vers R tel que f prend chaque valeur 2 fois exactement ?

Oui ... x²

L'enfant a écrit:

Oui ... x²

|x| fera l'affaire ...

il faut réfléchir avant d'agir, je crois que l'énoncé est plus claire maintenant

Belle question.

bonsoir

des idées

si une telle fonction existe (appelons la f) alors elle s'annulle exactement en deux points a et b tel que a<b.
1) Montrer que f garde un signe constant sur ]a,b[ sans s'y annuler. On suppose désormais que f>0 sur ]a,b[.
2) Montrer que f<0 sur ]-\infty,a[ et sur ]b,+\infty[
3) En déduir que f admet un maximum atteint exactement deux fois en c et d tel que a<c<d<b
4) Montrer que cela est impossible.(pour cela poser f([c,d])=[m,M] et en remarquant que f([a,c])=f([d,b])=[0,M] tirer une contradiction )

merci , voci les etapes de ma demonstration :
soit y tel que f(y)=f(0)

1) MQ: f atteint son max locale une seule fois sur [0;y]
2) qlq soit x £ ]-infini , 0] U [y,+infini[ f(x) <= f(0)
3) en deduire une contradiction

bonjour

la fonction en question n'existe pas donc

en voici une autre un peu étrange mais elle existe:

une fonction g définie sur un intervalle non trivial I (non trivail c'est non vide et non réduit à un singleton) tel que :
(i) g est discontinue en tout point de I
(ii) pour tout intervalle J contenu dans I , g(J) est un intervalle.

il existe une infinité ( contribution de Darboux ) , a titre d'exemple : fct de conway

cordialement

bonsoir boujmi3:

Contribution de Darboux : peux tu m'éclaircir ça ?
Fonction de Conwary : je l'ignore : veux tu m'en parler un peu ou me donner un lien vers une page qui en parle ?

En fait , je connais un exemple cité par Arnaudies dans un de ses livres d'exercices et justement je me demande quelles sont ses sources :
Il a proposé une fonction basée sur la périodicité ou non des coefficients a_{2k+1} du developpement décimal de x tel : x=a_0,a_1a_2... où x \in I =[0,9]

Cordialement

boujmi3 a écrit:

existe il une fct continue de R vers R tel que f prend chaque valeur 2 fois exactement ?

BSR Mohamed & boujmi3 !!

Merci beaucoup pour vos solutions qui sont proches l'une de l'autre mais c'est Mohamed qui revendique l'antériorité de la Proposition !!
Cependant , j'aimerais vous suggérer de voir le problème sous un autre angle ...

Sans chercher à savoir si f est surjective ou non ... celà n'a pas d'importance .
Pour tout x dans IR , il existe un seul réel a(x) tel que f(a(x))=f(x) et a(x)<>x
On pourrait alors considérer l'application suivante :
x ------------> g(x)=a(x) de IR dans IR

Questions que l'on peut raisonnablement se poser :
1) g est-elle continue
2) Inf |g(x)-x| sur IR existe-t-il ? Peut-il être nul ?
3) g admet-elle un point fixe ?

Amicalement . LHASSANE

BSR:

je voulais dire que la contribution de Darboux ( fcts de Darboux) a poussé les mathématiciens à chercher des exemples pr telles fcts ,

pr la fct de Conway voir : http://en.wikipedia.org/wiki/Conway_base_13_function

Bison_Fûté a écrit:

Questions que l'on peut raisonnablement se poser :
1) g est-elle continue

Amicalement . LHASSANE

BSR , une réponse à cette question est tres interessante (enfin pour moi)

amicalemennt

Bonsoir

Bonsoir Lhassane : Content de te revoir

♣ Je n'ai pas compris ce que tu veux dire par le fait que c'etait moi qui revendiquait l'antériorité de la proposition

♣ Tu as raison de penser à la surjectivité et je vois qu'il serait mieux d'ajouter à l'énoncé : ''...tel que f prenne chaque valeur de son image exactement deux fois '' Sinon comme une telle fonction admet un extrêmum absolu elle n'est jamais surjective0.

♣ Ton idée est géniale et je remarque que la fonction g que tu as ainsi introduite est involutive (donc bijective en particulier ).

MOHAMED_AIT_LH a écrit:

Bonsoir

Bonsoir Lhassane : Content de te revoir

♣ Je n'ai pas compris ce que tu veux dire par le fait que c'etait moi qui revendiquait l'antériorité de la proposition

BSR Mohamed !!
Tu n'as rien revendiqué ..
Je voulais simplement dire que Tu as été le premier à faire une Proposition d'Ossature de Solution au problème posé et que boujmi3 , par la suite , a proposé quelquechose de semblable ...

Voilà clarifiées les choses !!

LHASSANE

bonsoir

☼ Merci Lhassane pour l'explication

☼ Je vais examiner la fonction g


☼ Merci boujmi3 pour le lien et je vois que comme dans l'exo du livre de Arnaudies, on recours au developpement dans des bases de numeration