Problème de Cauchy du second ordre

On considère le problème :
(i). y''(t) = f(y(t))
(ii). y(t₀) = a et y'(t₀) = b.

Cauchy nous assure que ce problème a une unique solution.
Est-ce qu'on peut démontrer cette existence et cette unicité de la solution sans avoir à réduire l'équation à une équation différentielle de premier ordre ?
Merci.

Bjrs,
Oui en effet, tu peux utiliser le Théorème de Lax-Milgram et donc trouver le Pb variationnel équivalent sous la forme :
a(u,v)=L(v) où a et L sont des formes resp. bilinéaires /linéaire symétriques et continues.
ce Pb variationnel admet une solution UNIQUE ssi a est coércive ...

N.B : u=y

bon je te donne l'indication :
déjà ton Pb est de un Pb aux limites de types mixtes , (dirichlet et neuman non homgène )
pour trouver e Pb variationnel équivalent :
tu multiplies l'équation par v£H ( H un hilbert)
tu intègres puis tu utilises TH. Green, et tu poses a(u,v) et L(v) d'une manière à ce qu'ils vérifies les hypothèses du TH de Lax-Milgam ....

Bonjour,

la c'est Attaquer la mouche par le bazuka

En d'autre mots cherche a ecrire ton équation de "mouvement" sous la forme énergétique (Energie cinetique-potentielle=0), apres au lieu de multiplier par y (la solution) ! multiplie par y' qui verifie les memes conditions au bords.
ensuite il y a un theoreme (Lax-milgrame) qui demontre les formulations energitiques (variationelle, puissances virtuelles, ...).

Sinon il y a une autre methode:
l'ecriture de ta solution comme point fixe d'une fonction k<1-lipschitzienne (il faut que ta fonction f soit au moins lipshitzienne , pour conclure le theoreme de cauchy)
et apres utiliser le theorme de pointfixe pour les contractions.
mais je sais pas si on sera oblige de passer au cas d'ordre 1