problème N°57 de la semaine (27/11/2006-03/12/2006)

salut
chaque participant doit poster sa solution par E-MAIL

amateursmaths@yahoo.fr

(Indiquer votre nom d'utilisateur dans la réponse envoyée )
puis il poste le message suivant ici "solution postée"
pour plus d'information voir les conditions de participation
Merci

j ai pas bien compris la question tu peux l ècrire avec une autre façon??

oui c'est vrai ce n'est pas très clair

c po claire les ami et merci

On doit trouver les deux entiers n et le produit des xi ou bien n+1 entiers n,x1,x2,...,xn?
Les xi sont-ils des entiers ou seul le produit des xi l'est?

INDICATION
on dois trouver la valeur de n et la valeur de chaque x_i

Sollution postée !
à+
voici la solution d'oumzil

solution postée
voici la solution d'abbas

Bonjour
solution postée
A+
voici la solution d'abdelbaki attioui
Bonjour,
Par Cauchy-Schwarz, (somme de k=1 à n) x_k=(somme de k=1 à n)x_k(somme de k=1 à n)1/x_k>=n²
==> 5n-4>=n² ==> n=<4.

Pour n=4, x_1+x_2+x_3+x_4=4², l'négalité de Cauchy-Schwarz et en fait une égalité
==> il existe un réel a tel que pour tout i, rac(x_i)=a/rac(x_i)
==> x_i=a pour tout i
==> a=4 ==> une solution (4,4,4,4)

Pour n=3, x_1+x_2+x_3= 11 et 1/x_1+1/x_2+1/x_3=1
==> 9 > x_i > 1 et l'une au moins est impair.
Par symétrie des rôles, on suppose que c'est x_3.
si x_3=3 ==> x_1+x_2= 8 et 1/x_1+1/x_2=2/3
==> x_1x_2=12 ==> {x_1,x_2}={2,6}
==> {x_1,x_2,x_3}={2,3,6} 6 solutions.

si x_3=5 ==> x_1+x_2= 6 et 1/x_1+1/x_2=4/5
==> x_1x_2=15/2 aucune solution.
si x_3=7 ==> x_1+x_2= 4 et 1/x_1+1/x_2=6/7
==> x_1x_2=14/3 aucune solution.

Pour n=2, x_1+x_2= x_1x_2= 6 aucune solution.

Pour n=1, x_1=1 une solution.

A+

salut tout le monde
solution postée

voici la solution selfrespect
pour tout entier x_i non nul 1/x_i est definit
on daprès caushyshwartz//
(x1+x2+x3.....+x_n)(1/x1+1/x2.......1/x_n)>=n²
on a legalité seulement si qqsoit i de {1.2...n}/x_i=a£N*
**)au cas degalité on a x_i=n
(x1+x2+x3.....+x_n)(1/x1+1/x2.......1/x_n)=n²
c a dire 5n-4=n² ==>n=4 ou n=1
donc
qqsoit i de {1.2....n}/x_i=1
ou qqsoit i de {1.2...n}/x_i=4
on nsuppose les zeros sont destincts donc on a
(x1+x2+x3.....+x_n)(1/x1+1/x2.......1/x_n)>n²
==>5n-4>n²
==>n=2 ou n=3
*si n=2
E<==> 10-x1-x2=4 et 1/x1+1/x2=1
==> x1+x2=6 et x1*x2=6
==>x1 et x2 sont les zeros de leqation x²-6x+6=0
==>s=ensemble vide (les zero ne sont pas naturels)
*n=3
E<==>x1+x2+x3=11 et 1/x1+1/x2+1/x3=1
==> {x1.x2.x3}£{2.3.6}
********************
S={n=xi=x1=1}u{n=x1=x2=x3=x4=4}u{n=3 et xi£{2.3.6}}

salam alikom

Solution supprimée par l'administrateur .

je l'ai pas fais expré!!

aissa a écrit:

je l'ai pas fais expré!!

Ce n'est pas grave, mais ne le refait pas.

salam alikom
solution postée
voici la solution d'aissa

on a : (sum 1^n,Xi)(sum( 1^n, 1/Xi) >=n²
donc : 5n-4>=n² <=> n est dans [1,4] OR n EST DANS IN?
DOC LES SOLUTONS POSSIBLES SONT/
1- n=1 et X_1=1.
2- n=4 et X_1=X_2=X_3=X_4=4.

Bonjour
Solution postée
voici la solution de khamaths
Bonjour Samir:

On a: sigma_i=1^n (x_i) = 5n - 4 et Sigma_i=1^n ( 1/x_i) = 1 (S)
On sait que : sigma( x_i) *Sigma ( 1/x_i) >= n²
donc : 5n - 4 >= n² <===> 1 <= n <= 4

(*) n=1:
(S) devient : x_1 =1
(*) n=2:
(S) devient : x_1 + x_2 = 6 et x_1*x_2 = 6
système qui n 'admet pas de solution dans IN*²
(*) n= 3:
(S) devient: x_1 +x_2+x_3 = 11 (1)
et 1/x_* 1/x_2 * 1/x_3 =1 (2)

(2) <====>x_3 (x_1 + x_2 ) = x_1*x_2 ( x_3 - 1 )
====>(x_3 - 1) / ( x_1 +x_ 2) (théorème de Gauss ; x_3 et (x_3 -1) premiers entre eux)
Or : (x_3 -1) /(x_3 -1)
Donc : (x_3 -1) / 10 ( d'après (1))
D' où : x_ 3 € {2;3;6} ( x_3<11)
Comme : x_1;x_2 et x_3 jouent un rôle symétrique: x_1 et x_2 sont aussi dans {2;3;6}
(*) n =4:

(S) devient: Sigma(x_i) = 16 et Sigma ( 1/x_i) =1 ( i variant de 1à 4 )
Sigma(x_i)*Sigma(1/x_i) = 4 + Sigma_1<=i<j<=4 (x_i/x_j)
=====>Sigma_1<=i<j<=4 (x_i/x_j) = 12
=====>Sigma_(1<=<i<j<=4) [ t_(i;j) +1/t_(i;j) -2]=0 ( avec t_(i;j) =x_i/x_j )
( comme: t +1/t -2 >= 0 pour tout t non nul )
Alors : t(i;j) =1 pour tout 1<=i<j<=4
i.e : x_1 =x_2 =x_3 =x_4 = 4


Conclusion:
Les solutions dans l'ordre ( n;x_1;x_2;.....;x_n) sont :

(1;1) ; (3;3;6;2) ; (3;3;2;6) ; (3;6;3;2) ; (3;6;2;3) ; (3;2;6;3) ; (3;2;3;6) ; (4;4;4;4;4)