| problème N°57 de la semaine (27/11/2006-03/12/2006) | |
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+8abdelbaki.attioui abbas Oumzil Kendor saad@einstein imad2311 saiif3301 samir 12 participants |
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samir Administrateur
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samir Administrateur
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| salut chaque participant doit poster sa solution par E-MAIL
amateursmaths@yahoo.fr
(Indiquer votre nom d'utilisateur dans la réponse envoyée ) puis il poste le message suivant ici "solution postée" pour plus d'information voir les conditions de participation Merci | |
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saiif3301 Expert grade2
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| j ai pas bien compris la question tu peux l ècrire avec une autre façon?? | |
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imad2311 Débutant
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| oui c'est vrai ce n'est pas très clair | |
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saad@einstein Débutant
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| c po claire les ami et merci | |
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Kendor Féru
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| On doit trouver les deux entiers n et le produit des xi ou bien n+1 entiers n,x1,x2,...,xn? Les xi sont-ils des entiers ou seul le produit des xi l'est? | |
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samir Administrateur
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| INDICATION on dois trouver la valeur de n et la valeur de chaque x_i | |
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Oumzil Maître
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| Sollution postée ! à+ voici la solution d'oumzil![problème N°57 de la semaine (27/11/2006-03/12/2006) 4jr8](https://2img.net/r/ihimizer/img105/8913/4jr8.png)
Dernière édition par le Dim 03 Déc 2006, 20:21, édité 1 fois | |
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abbas champion de la semaine
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| solution postée voici la solution d'abbas![problème N°57 de la semaine (27/11/2006-03/12/2006) Abbasre5](https://2img.net/r/ihimizer/img136/8616/abbasre5.jpg) | |
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abdelbaki.attioui Administrateur
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![problème N°57 de la semaine (27/11/2006-03/12/2006) Empty](https://2img.net/i/empty.gif) | Sujet: Re: problème N°57 de la semaine (27/11/2006-03/12/2006) Mar 28 Nov 2006, 11:12 | |
| Bonjour solution postée A+ voici la solution d'abdelbaki attioui Bonjour, Par Cauchy-Schwarz, (somme de k=1 à n) x_k=(somme de k=1 à n)x_k(somme de k=1 à n)1/x_k>=n² ==> 5n-4>=n² ==> n=<4.
Pour n=4, x_1+x_2+x_3+x_4=4², l'négalité de Cauchy-Schwarz et en fait une égalité ==> il existe un réel a tel que pour tout i, rac(x_i)=a/rac(x_i) ==> x_i=a pour tout i ==> a=4 ==> une solution (4,4,4,4)
Pour n=3, x_1+x_2+x_3= 11 et 1/x_1+1/x_2+1/x_3=1 ==> 9 > x_i > 1 et l'une au moins est impair. Par symétrie des rôles, on suppose que c'est x_3. si x_3=3 ==> x_1+x_2= 8 et 1/x_1+1/x_2=2/3 ==> x_1x_2=12 ==> {x_1,x_2}={2,6} ==> {x_1,x_2,x_3}={2,3,6} 6 solutions.
si x_3=5 ==> x_1+x_2= 6 et 1/x_1+1/x_2=4/5 ==> x_1x_2=15/2 aucune solution. si x_3=7 ==> x_1+x_2= 4 et 1/x_1+1/x_2=6/7 ==> x_1x_2=14/3 aucune solution.
Pour n=2, x_1+x_2= x_1x_2= 6 aucune solution.
Pour n=1, x_1=1 une solution.
A+ | |
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selfrespect Expert sup
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![problème N°57 de la semaine (27/11/2006-03/12/2006) Empty](https://2img.net/i/empty.gif) | Sujet: Re: problème N°57 de la semaine (27/11/2006-03/12/2006) Mar 28 Nov 2006, 12:05 | |
| salut tout le monde solution postée voici la solution selfrespect pour tout entier x_i non nul 1/x_i est definit on daprès caushyshwartz// (x1+x2+x3.....+x_n)(1/x1+1/x2.......1/x_n)>=n² on a legalité seulement si qqsoit i de {1.2...n}/x_i=a£N* **)au cas degalité on a x_i=n (x1+x2+x3.....+x_n)(1/x1+1/x2.......1/x_n)=n² c a dire 5n-4=n² ==>n=4 ou n=1 donc qqsoit i de {1.2....n}/x_i=1 ou qqsoit i de {1.2...n}/x_i=4 on nsuppose les zeros sont destincts donc on a (x1+x2+x3.....+x_n)(1/x1+1/x2.......1/x_n)>n² ==>5n-4>n² ==>n=2 ou n=3 *si n=2 E<==> 10-x1-x2=4 et 1/x1+1/x2=1 ==> x1+x2=6 et x1*x2=6 ==>x1 et x2 sont les zeros de leqation x²-6x+6=0 ==>s=ensemble vide (les zero ne sont pas naturels) *n=3 E<==>x1+x2+x3=11 et 1/x1+1/x2+1/x3=1 ==> {x1.x2.x3}£{2.3.6} ******************** S={n=xi=x1=1}u{n=x1=x2=x3=x4=4}u{n=3 et xi£{2.3.6}}
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aissa Modérateur
Nombre de messages : 640 Age : 63 Localisation : casa Date d'inscription : 30/09/2006
![problème N°57 de la semaine (27/11/2006-03/12/2006) Empty](https://2img.net/i/empty.gif) | Sujet: problème N°57 Mer 29 Nov 2006, 09:38 | |
| salam alikom
Solution supprimée par l'administrateur . | |
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aissa Modérateur
Nombre de messages : 640 Age : 63 Localisation : casa Date d'inscription : 30/09/2006
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abdelbaki.attioui Administrateur
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| - aissa a écrit:
- je l'ai pas fais expré!!
Ce n'est pas grave, mais ne le refait pas. | |
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aissa Modérateur
Nombre de messages : 640 Age : 63 Localisation : casa Date d'inscription : 30/09/2006
![problème N°57 de la semaine (27/11/2006-03/12/2006) Empty](https://2img.net/i/empty.gif) | Sujet: solution du problème N° 57 Ven 01 Déc 2006, 13:04 | |
| salam alikom solution postée voici la solution d'aissa
on a : (sum 1^n,Xi)(sum( 1^n, 1/Xi) >=n² donc : 5n-4>=n² <=> n est dans [1,4] OR n EST DANS IN? DOC LES SOLUTONS POSSIBLES SONT/ 1- n=1 et X_1=1. 2- n=4 et X_1=X_2=X_3=X_4=4. | |
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khamaths Maître
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![problème N°57 de la semaine (27/11/2006-03/12/2006) Empty](https://2img.net/i/empty.gif) | Sujet: problème 57 Sam 02 Déc 2006, 11:13 | |
| Bonjour Solution postée voici la solution de khamathsBonjour Samir:
On a: sigma_i=1^n (x_i) = 5n - 4 et Sigma_i=1^n ( 1/x_i) = 1 (S) On sait que : sigma( x_i) *Sigma ( 1/x_i) >= n² donc : 5n - 4 >= n² <===> 1 <= n <= 4
(*) n=1: (S) devient : x_1 =1 (*) n=2: (S) devient : x_1 + x_2 = 6 et x_1*x_2 = 6 système qui n 'admet pas de solution dans IN*² (*) n= 3: (S) devient: x_1 +x_2+x_3 = 11 (1) et 1/x_* 1/x_2 * 1/x_3 =1 (2)
(2) <====>x_3 (x_1 + x_2 ) = x_1*x_2 ( x_3 - 1 ) ====>(x_3 - 1) / ( x_1 +x_ 2) (théorème de Gauss ; x_3 et (x_3 -1) premiers entre eux) Or : (x_3 -1) /(x_3 -1) Donc : (x_3 -1) / 10 ( d'après (1)) D' où : x_ 3 € {2;3;6} ( x_3<11) Comme : x_1;x_2 et x_3 jouent un rôle symétrique: x_1 et x_2 sont aussi dans {2;3;6} (*) n =4:
(S) devient: Sigma(x_i) = 16 et Sigma ( 1/x_i) =1 ( i variant de 1à 4 ) Sigma(x_i)*Sigma(1/x_i) = 4 + Sigma_1<=i<j<=4 (x_i/x_j) =====>Sigma_1<=i<j<=4 (x_i/x_j) = 12 =====>Sigma_(1<=<i<j<=4) [ t_(i;j) +1/t_(i;j) -2]=0 ( avec t_(i;j) =x_i/x_j ) ( comme: t +1/t -2 >= 0 pour tout t non nul ) Alors : t(i;j) =1 pour tout 1<=i<j<=4 i.e : x_1 =x_2 =x_3 =x_4 = 4
Conclusion: Les solutions dans l'ordre ( n;x_1;x_2;.....;x_n) sont : (1;1) ; (3;3;6;2) ; (3;3;2;6) ; (3;6;3;2) ; (3;6;2;3) ; (3;2;6;3) ; (3;2;3;6) ; (4;4;4;4;4) | |
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samir Administrateur
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![problème N°57 de la semaine (27/11/2006-03/12/2006) Empty](https://2img.net/i/empty.gif) | Sujet: Re: problème N°57 de la semaine (27/11/2006-03/12/2006) Lun 04 Déc 2006, 09:21 | |
| solution officielle du problème de la semaine N°57 (solution d'abdelbaki attioui) Par Cauchy-Schwarz, (somme de k=1 à n) x_k=(somme de k=1 à n)x_k(somme de k=1 à n)1/x_k>=n² ==> 5n-4>=n² ==> n=<4.
Pour n=4, x_1+x_2+x_3+x_4=4², l'négalité de Cauchy-Schwarz et en fait une égalité ==> il existe un réel a tel que pour tout i, rac(x_i)=a/rac(x_i) ==> x_i=a pour tout i ==> a=4 ==> une solution (4,4,4,4)
Pour n=3, x_1+x_2+x_3= 11 et 1/x_1+1/x_2+1/x_3=1 ==> 9 > x_i > 1 et l'une au moins est impair. Par symétrie des rôles, on suppose que c'est x_3. si x_3=3 ==> x_1+x_2= 8 et 1/x_1+1/x_2=2/3 ==> x_1x_2=12 ==> {x_1,x_2}={2,6} ==> {x_1,x_2,x_3}={2,3,6} 6 solutions.
si x_3=5 ==> x_1+x_2= 6 et 1/x_1+1/x_2=4/5 ==> x_1x_2=15/2 aucune solution. si x_3=7 ==> x_1+x_2= 4 et 1/x_1+1/x_2=6/7 ==> x_1x_2=14/3 aucune solution.
Pour n=2, x_1+x_2= x_1x_2= 6 aucune solution.
Pour n=1, x_1=1 une solution. CONCLUSION les solutions (n,x1,x2,...,xn) du problème initial sont donc (1,1) (3,2,3,6) (3,2,6,3) (3,3,2,6) (3,3,6,2) (3,6,2,3) (3,6,3,2) (4,4,4,4,4)
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darkmaths Féru
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