DM sur les limites, fonctions ...

Bonjour, j'ai petit problème en mathématique.

Voici l'énoncé:

Partie A Lecture graphique

F est une fonction définie et dérivable sur ] –2 ; +00][. Voici sa courbe représentative sur l’intervalle [-1,5 ; 8].
1. Donner le tableau de variation de f sur [-1,5 ; 8].
2. On précisera dans ce tableau le signe de f’(x) et les images de (–1,5) et de 8.
3. Résoudre graphiquement sur [ -1.5 ; 8] les équations :
a) f(x)= 10 b) f(x)sup ou égal 0 c) f(x)inférieur 10 d) f(x)sup ou égal 45



Partie B: Étude de f

La fonction f précédente est définie sur ] –2 , +00[ par :

f(x) = (10 x²) / (x+2)

Soit (C) représentation graphique de f dans un repère orthogonal.

1 ) a ) Étudier la limite de f en –2. Que peut-on en déduire pour la courbe C ?

b) Étudier la limite de f en +00.

c) Vérifier que pour tout x ]-2;+00[:

f(x)= 10x – 20 + ( 40 / x+2 )

d) En déduire une asymptote à C.

2 ) a) Montrer que pour tout x de ]-2;+00[:
f'(x) ( 10x (x+4) ) / (x+2)²

b) Étudier le signe de f’(x) sur ]-2;+00[

c) Dresser le tableau de variation de f sur ]–2;+00[




Partie C Application

Une entreprise fabrique et vend des objets; on désigne par x le nombre d'objets fabriqués et vendus (avec x appartient à [o;+00[), le coût de fabrication de ces x objets est égal à:
C(x)= 20x/x+2; Chacun de ces objets est vendu 10 euros.

1) Quelle doit être la production pour que le coût de fabrication reste inférieur ou égal à 15 euros ?

2) Montrer que le bénéfice, en euros, réalisé par cette entreprise est égal à f(x), où f est la fonction étudiée précédemment; Justifier que l'entreprise ne perd jamais d'argent.

3) Déterminer par le calcul les valeurs de la production telles que le bénéfice soit supérieur ou égal à 45 euros.



Naturellement, il faut commencer par la partie A (suite à cela, la B puis la C ...).

J'ai commencé par la partie B, et quasi-terminer, mais la partie A ... même si elle paraît facile, j'ai des difficultés.

Merci d'avance de votre aide et bonne journée/soirée ! Barak oufikoum !

Ou est la courbe ?

Désolé, je n'arrive pas à la mettre ...

Cependant, elle est décroissante en -1 (45) à 0 (0) puis croissante jusqu'en 8 (60)

Sachant que l'axe des abscisses commence en -2 et fini en 8 (de 2 en 2). Et l'axe des ordonnées, de 0 à 60 (de 10 en 10).

Merci !

Kml a écrit:

Désolé, je n'arrive pas à la mettre ...

Cependant, elle est décroissante en -1 (45) à 0 (0) puis croissante jusqu'en 8 (60)

Sachant que l'axe des abscisses commence en -2 et fini en 8 (de 2 en 2). Et l'axe des ordonnées, de 0 à 60 (de 10 en 10).

Merci !

BSR Kml !!

On a deviné que la fonction que tu as tracée graphiquement dans la partie A)
c'est celle-ci :

<< La fonction f précédente est définie sur ] –2 , +00[ par :
f(x) = (10 x²) / (x+2) >>

dont il est question dans la partie C) .

Donc pour l'interprêtation graphique des résultats , c'est Toi qui dispose des documents et c'est à Toi de la faire ..... Je m'en vais t'aider pour la partie c) si tu veux bien sûr !!

Amicalement . LHASSANE

Bonsoir Lhassane ! mon sauveur !

Je veux bien de ton aide pour la partie C, d'ailleurs où j'ai le plus de mal...

Kml a écrit:

Bonjour, j'ai petit problème en mathématique ...........

Partie C Application

Une entreprise fabrique et vend des objets; on désigne par x le nombre d'objets
fabriqués et vendus (avec x appartient à [o;+00[), le coût de fabrication de ces
x objets est égal à:
C(x)= 20x/x+2; Chacun de ces objets est vendu 10 euros.

1) Quelle doit être la production pour que le coût de fabrication reste inférieur
ou égal à 15 euros ?

Le coût de fabrication pour x articles fabriqués et vendus est égal à
C(x)= 20x/(x+2) et on veut que celà soit inférieur à 15 donc on résoud l'inégalite
20x/(x+2) <= 15 qui s'écrit 20x <= 15x + 30 donc 5x=(20x-15x)<=30 d'ou x<=6
CONCLUSION : l'usine devra fabriquer au plus 6 articles pour celà !!!

2) Montrer que le bénéfice, en euros, réalisé par cette entreprise est égal
à f(x), où f est la fonction étudiée précédemment; Justifier que l'entreprise
ne perd jamais d'argent.

Pour x articles fabriqués et vendus , le bénéfice sera égal à :
B(x)=10.x -C(x)=10.x - 20x/x+2 ={(10.x).(x+2) - 20.x}/{x+2}= {10.x^2 +20.x - 20.x}/{x+2}
donc B(x)=10.x^2 /(x+2) et donc B(x)=f(x) exactement ....
Il est facile de constater que l'on a toujours B(x)=f(x) >0 pour n'importe quelle productionx et donc
l'Entreprise sera toujours gagnante

3) Déterminer par le calcul les valeurs de la production telles que le bénéfice
soit supérieur ou égal à 45 Euros.

Comme dans la question 1) déjà traitée , tu devrais résoudre ICI
l'inégalité B(x)=f(x)=10.x^2 /(x+2) >=45
Donc 10.x^2 >= 45.(x+2) soit 10.x^2 - 45.x - 90 >=0
Ce trinôme du Second Degré admet pour discriminant DELTA=(45)^2-4.(10).(-90)=5625=(75)^2
ses racines sont donc x1=6 et x2=-(3/2)
On voudrait que 10.x^2 - 45.x - 90 >=0 il faudrait alors que x soit >= 6 ou bien <=-(3/2)
comme il s'agit d'une production d'articles on retiendra que x>=6 ; x ne peut pas être négatif ....

J'espère que tu prendras le soin de comprendre mes explications , sinon celà est sans aucun intérêt !!

Amicalement . LHASSANE

Merci beaucoup Lhassane, Barak oufik.

J'ai tout compris sauf la 3), en réalité, le bénéfice sera supérieur ou égal à 45 euros, lorsque la production produira au moins 6 articles ? C'est ça ?

En revanche, tu peux jeter un rapide coup d'œil (si t'as un peu de temps ...) sur mon autre topic "Autre exercice..." Allah ister alik, sinon il y a pas de soucis, bonne soirée !

Kml a écrit:

Merci beaucoup Lhassane, Barak oufik.

J'ai tout compris sauf la 3), en réalité, le bénéfice sera supérieur ou égal à 45 euros, lorsque la production produira au moins 6 articles ? C'est ça ?

OUI c'est exactement celà !!
D'ailleurs c'est le calcul qui donne celà et si tu reviens à la Partie A) , tu peux le contrôler graphiquement !!
Tu vérifie que f(x)>=45 dès que x >=6 .

Bon Week End !!

Effectivement, je viens de le faire, ça fonctionne parfaitement, encore merci !

Bon week end à toi aussi.