notre première d'olympiade de Maths (ven 10 déc 2010)

Exercice 1
soit :
1- vérifier que :
2- Montrer que :

Exercice 2
soient a et b deux réels positifs
montrer que :

Exercice 3
soient x,y, et z trois réels positifs vérifiant :
1- calculer
2- montrer que :

Pour le quatriéme exo ... c'est de la géo, je ne peux pas l'ecrire avec du latex.. mais c'est hyperfacile

pour exo 1 (juste de calcule)

pour exo 2
on a (1+a)(1+b)≥(1+√ab)² (cs) donc √ab/(1+a)(1+b)≤√ab/(1+√ab)²

et 2√ab≤1+ab ---> 4√ab≤(1+√ab)²--->√ab/(1+√ab)²≤1/4 (conclure)

une autre méthode au 2eme exo :
1+a>=2√a et 1+b>=2√b donc (a+1)(1+b)>=4√(ab) conclure

1er exo :
1ere question : trivial
2eme question : une solution plus élégante avec les suites :
soit a^n = u_n*a+v_n
a = a + 0 => u_1 = 1 et v_1 = 0
a^2 = a + 1 => u_1 = 1 et v_1 = 1


a^(n+1) = (u_n*a + v_n)*a = (u_n + v_n)*a + u_n
=> u_(n+1) = u_n + u_(n-1) et v_(n+1) = u_n
u_n est la suite de fibunacci
donc u_13 = 233 et v_13 = 144
d'où

pour le 3ème exo, je pense que ce qu'on a comme enoncé est trop maigre pour "calculer" (x+y+z)^2... vouliez-vous dire développer, non calculer? y'aurait-il plutot quelque chose qui manque à l'énoncé?

j'ai fait le 1er et le 2ème de façon "primitive" xD pour le 3 j'ai démontré que 1/3=<... mais pour <1/2 je préfère attendre une confirmation de l'énoncé