exercice de reccurence

on a a appartiens a N* montrer que (a+1)^(n+1)-a(n+1)-1 est un multiple pour a^2
quelque soit n appartiens a N*-{1}

An= (a+1)^n+1 -a(n+1)-1
pour n=1 A1= (a+1)² -a(1+1)-1=a² est divisible par a².
supposons que a² divise An , montrons que a² divise An+1
on a : An+1=(a+1)^n+1 *(a+1) -a(n+2)-1
= (a+1)[ (a+1)^n -a(n+1)-1] +a(a+1)(n+1) +(a+1) -a(n+2)-1
=(a+1)ka² +a²(n+1) ( An=ka² )
= a²( k(a+1) +(n+1)).
donc a² divise An+1
donc pour tout n de IN* a² divise An.

n appartiens a N*-{1}