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soit A un anneau unitaire , montrez que A contient un ideale maximale different de A

Ceci revient à trouver I tel que A\I est un corps , on ne peut pas la demontrer sans accepter des axiomes:

le choix: "Si A et B non vides, alors le produit cartésien A*B est non vide !", et ceci permet de prouver la lemme de Zorn qui "ordonne" n'importe quel ensemble pour l'inclusion.

Autres Exemples survolés par les profs dans le programme CPGE et qui ont besoin de ça:
- Tout espace vectoriel admet une base (même si la dimension est finie).
- Theorme de base incomplète.
- A inclus dans B et codim(A)=codim(B) alors A=B.
- Projection, diagonalisation, trigonalisation en dimension infini.

PS: il faut que A soit unitaire (admet un élément neutre: ça deponds de la def de l'anneau) ?

béhé a écrit:

Ceci revient à trouver I tel que A\I est un corps , on ne peut pas la demontrer sans accepter des axiomes:

le choix: "Si A et B non vides, alors le produit cartésien A*B est non vide !", et ceci permet de prouver la lemme de Zorn qui "ordonne" n'importe quel ensemble pour l'inclusion.

Autres Exemples survolés par les profs dans le programme CPGE et qui ont besoin de ça:
- Tout espace vectoriel admet une base (même si la dimension est infinie).
- Theorme de base incomplète.
- A inclus dans B et codim(A)=codim(B) alors A=B.
- Projection, diagonalisation, trigonalisation en dimension infini.

PS: il faut que A soit unitaire (admet un élément neutre: ça deponds de la def de l'anneau) ?

oui effectivement , on la prouve avec le lemme de Zorn