inégalité exponentielle

montrer que:


pour tout n appartient à IN* e<(1+1/n)^(n+1)

désolé de ne pas l'avoir mentionné avant; je préfère que la solution soit résolue sans avoir recours à l'étude d'une fonction

Merci

salam:

remarque bien que : (1+1/n)^(n+1)=e^((n+1)ln(1+1/n)) et (n+1)ln(1+1/n)>1 pour tout n£IN*

ET e(x) est strictement croissante .

tanmirt

Tanmirt pour votre réponse
mais ce que j'arrive pas à comprendre :
(n+1)ln(1+1/n)>1 pour tout n£IN*

SAlut,
on a (1+1/n)^(n+1) >1
alors (1+1/n)^(n)>n/(n+1)
donc ln((1+1/n)^(n))>ln(n/(n+1))
aussi ln(n/(n+1)) = 1-ln(1+1/n)
alors ln((1+1/n)^(n))>1-ln(1+1/n)
donc n*ln(1+1/n)+ln(1+1/n)>1
ce qui donne (n+1)ln(1+1/n)>1

Merci stylo vs calculator
tout à fait juste

De rien ,mon frère

stylo vs calculator a écrit:

SAlut,
on a (1+1/n)^(n+1) >1
alors (1+1/n)^(n)>n/(n+1)
donc ln((1+1/n)^(n))>ln(n/(n+1))
aussi ln(n/(n+1)) = 1-ln(1+1/n)
alors ln((1+1/n)^(n))>1-ln(1+1/n)
donc n*ln(1+1/n)+ln(1+1/n)>1
ce qui donne (n+1)ln(1+1/n)>1

ln(n/(n+1))=ln(1/(1+1/n)=-ln(1+1/n)
faute d'inattention