Idempotent

Soit E un ensemble fini muni d'une loi de composition interne associative.
Montrer qu'il existe un élément s de E tel que s.s=s

Soit a tel que a^{2^k} = a pour un certain k.
En fait on peut supposer ceci car en élevant au carré un nombre fini d'éléments on aboutira à des cycles.
Alors pour tout b on a : a^{2^k+b} = a^{1+b}.
Si on peut trouver b tel que 2^k + b = 2(1+b), alors c'est fini.
Mais c'est évident : b = 2^k - 2.
(si k=1, bah on conclut aussi)

mathman a écrit:

Soit a tel que a^{2^k} = a pour un certain k.
En fait on peut supposer ceci car en élevant au carré un nombre fini d'éléments on aboutira à des cycles.
Alors pour tout b on a : a^{2^k+b} = a^{1+b}.
Si on peut trouver b tel que 2^k + b = 2(1+b), alors c'est fini.
Mais c'est évident : b = 2^k - 2.
(si k=1, bah on conclut aussi)

ce n'est pas certain qu'un tel existe. oui pour a^{2^k} = a^{2^k'} avec k#k'. Mais attention a n'est pas forcement inversible.