exo

salut
a,b et c appartient R+ montre que
(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)>ou=9

Application directe de l'inégalité de Tchebychev

j ai rien compris Mr

xN signifie x indice N

Inegalite de Tchebychev :
Soit N un entier naturel
Soit x1<x2<x3<...<xN des réels strictement positifs et y1<y2<y3<...<yN aussi
Donc : (x1+x2+x3+...+xN)(y1+y2+y3+...+yN)>=N(x1y1+x2y2+x1y1+...+xNyN)

** application direct de CS

** ou une autre méthode
pour tous x>0 on a : x+1/x≥2
et (a+b+c)(1/a+1/b+1/c)=3+a/b+b/a+a/c+c/a+b/c+c/b≥3+6=9

Mr pourquoi a/b + b/a+a/c+c/a+b/c+c/b≥ 6

Mr pourquoi a/b + b/a+a/c+c/a+b/c+c/b≥ 6

Remarque Pour tout x € IR+* x+1/x>=2
c bien clair car on sait que (Vx-1/Vx)²>0 donc x+1/x-2>=0 d'où x+1/x>=2
ici en prenant x= a/b et a/c et b/c respectivmeent on obtient le résultat voulu

De toute facon l'inégalité est une application direcete de AM-GM

est ce qu'il y a une autre méthode s il vous plait

exp
suppesant x=2
2+1/2=1.5<2 sa veut dire que cette inegalité est fause

je voudrai une réponse s'il vous plait

la réponse plz

hamza.b a écrit:

exp
suppesant x=2
2+1/2=1.5<2 sa veut dire que cette inegalité est fause

2+1/2=2.5>=2

ah ok Mr

salam:

on a:
pour tous x>0 on a : x+1/x≥2
et:

(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)=3+a/b+b/a+a/c+c/a+b/c+c/b

=3+b(a+1/a)+a(c+1/c)+c(b+1/b)

comme :(a+1/a)>=2

et (c+1/c)>=2

et (b+1/b)>=2

donc (a+b+c)(1/a+1/b+1/c)>=3+2+2+2=9

tanmirt

Nayssi a écrit:

Application directe de l'inégalité de Tchebychev

NON

C'est une application de l'inégalité de Cauchy Schwartz.

J'avoueeeeee!!!
Désolé

Avecl l'inegalité de Tchebychev c'est plus compliqué!!!!!!
Alors :
Supposons x<y<z (puisqu'ils ont des roles symetriques)
donc 1/z<1/y<1/x
D apres l'inegalité de Tchebychev :

(x+y+z)(1/z+1/y+1/x)>=3(x/z+y/y+z/x)
(x+y+z)(1/z+1/y+1/x)>=3(1+x/z+z/x) (1)

Or x/z+z/x>=2
Donc 1+x/z+z/x>=3
D'ou 3(1+x/z+z/x)>=9 (2)

Ainsi de (1) et (2) (x+y+z)(1/z+1/y+1/x)>=3(1+x/z+z/x)>=9

D'ou en particulier ,
(x+y+z)(1/z+1/y+1/x)>=9

!!!!!!!!!!!!!!!!