Famille libre.

Sujet: Famille libre. Dim 16 Jan 2011, 18:53

slt à tous !

Soit E=IR^n

soit : $Famille libre. 5ce47072a85ef3e1d3a020ee85e875dbbd258e65$

$Famille libre. 043b126f7a2ccdb233e81dbf24020b6ae6c90888$

et $Famille libre. E4d05b9f98ad993cbf8f2f1c59b6aacc2995b4cf$

tel que : $Famille libre. 1b5492678f23d410fb3047eb701ed6c3a373dad3$

$Famille libre. 530ca9b9bf171da9e7ca42c4d491778fb6ef6fe3$

montrer que : $Famille libre. 855ea36d06e5c7acf00bc3198c5a5951d4b991ca$ est libre.

Merci d'avance.

Sujet: Re: Famille libre. Dim 16 Jan 2011, 19:00

BSR

et si les f_i sont tous nuls ? cela implique que n'importe quelle famille de n vecteurs est libre ce qui est faux

Sujet: Re: Famille libre. Dim 16 Jan 2011, 19:16

Bsr !

si f_i sont nulles alors e_i est libre,c'est la base canonique !

j'ai utilisé la notation de Kronecker :

delta_ij= 1 si i=j , 0 sinon, ainsi :

e_1=(1,0,0,0...,0)

e_2=(0,1,0,...,0) ....

Sujet: Re: Famille libre. Dim 16 Jan 2011, 19:23

ahh tout est clair maintenant , merci

Sujet: Re: Famille libre. Dim 16 Jan 2011, 19:25

Pas de problème !

Sujet: Re: Famille libre. Dim 16 Jan 2011, 19:34

bon je suppose qu'il s'agit du Produit scalaire canonique
soit a_i ( 1<=i<=n) tel que : som ( ai(e_i+f_i))=0 avec les a_i ne sont pas tous nuls
<=> som(a_ie_i)= -som(a_i*f_i) en passant a la norme associée

abs( som(a_ie_i)) = abs( som(a_i*f_i)) <= som( abs(a_i*f_i)) <= racine{ som(a_i²)*som(f_i²)) < racine ( som(a_i²)) (cauchy shwarz)

or abs(abs( som(a_ie_i))) = racine( som(a_i²)) puisque e_i est la base canonique , d'ou la contradiction