algebre et topologie

soit U le cercle unité , montrez que tout sous groupe discret de U est fini

c koi discret?

G groupe discret <=> qlq soit a £ G il existe r>0 tel que G I B(a,r) = {a}
I : l'intersection
B(a,r): { z £ C / module(a-z) <= r }

Soit f: R -->U définie par : f(t)=exp(it)
f est morphisme de groupe surjectif ( épimorphisme) dont le noyau est 2pi.Z

Soit H un sous groupe discret de U alors f^-1(H) est un sous groupe de R contenant 2pi.Z
Mais un sous groupe additif de R est ou bien dense dans R ou bien de la forme aZ (a>=0)
Comme f est continu et H discret, 2pi.Z C f^-1(H)=aZ ==> f^-1(H)=2pi/n.Z avec (n€N*)

==> H={exp(2ki.pi/n) / k€Z} qui est fini

oui c'est ça