Equation fonctionnelle

Soient et deux réels non nécessairement distincts. Trouver tous les fonctions telles que

pour tout x,y € R+

x=y ==> f(x)^2 = f(x/2) (x^a+x^b) ( a=alpha et b=beta) (*)
alors f(x)>=0 pour tt x >0
si f s'annule en x alors qlq soit y x^a*f(y/2) + y^b*f(x/2) =0 ==> f(y/2)=0 et donc f est nulle
alors on peut supposer que f >0
d'apres (*) l'équation originale devient : f(x)f(y)= f(x)²*y^a/(x^a+x^b) + f(y)^2*x^b/(y^a+y^b) , le fait que f ne s'annulle pas pour x>0 , et l'inégalité arith-geometrique impliquent que : y^a/(x^a+x^b) * x^b/(y^a+y^b) <= 1/4
si y=x^(-1) et si a>b par exemple on obtient une contradiction pr x-->0 donc forcément a=b, dans ce cas on trouve que : f(x)*y^(a/2)/x^(a/2) = f(y)*x^(a/2)/y^(a/2) le reste est facile

Merci d'avoir pris la peine de penser au problème , il ya une autre convention a propos de l'ensemble R+, dans ce problème c'est l'ensemble des réels positifs (strictement poistifs) c'est à dire les réels x > 0, pourtant l'ensemble des réels non négatifs c'est l'ensemble R+ qu'on connaissait depuis le secondaire de toute facon on peut tout simplement voir que si alpha ou béta sont négatifs on peut pas prendre x=0 ou y=0 ..et pour l'autre passage de l'inégalité arithmético géométrique il nous faut la condition f(x)f(y)>0 pour affirmer que y^a/(x^a+x^b) * x^b/(y^a+y^b) <= 1/4

Citation :

1) f(x)=0 ==> f(x/2)=0 pour un x fixé
2) donc si f s'annule en un point autre que 0 alors elle est nulle partout

Est-ce que 2) est une conclusion directe de 1) ?

oui tu as raison , j'étais si pressé , j'ai edité mon post j'espere que c bon maintenant

c'est bon maintenant