exo

resoudre le systeme suivent
x+y+z+t=4

1/x + 1/y +1/z +1/t = 5- 1/xyzt

.

si c'est dans IN le seul cas d'egalite est x=y=z=t=1 et qui n'est pas difficile a demontrer
amicalement:D

et je crois que dans IR aussi le seul cas d'egalite est x=y=z=t=1 puisque on peut prouve
que 1/x+1/z+1/y+1/t>=5-1/xyzt avec egalite si x=y=z=t et 1/x+1/z+1/y+1/t=4 qui donne
x=y=z=t=1.mais je ne suis pas tres sur!
sauf erreur
amicalement:D

explique un peut plus (UNE DEMONSTRATION A L'apuie )

ok.selon AM-BM on a 1/x+1/y+1/z+1/t>=4
et 4^4xyzt<=(x+y+z+t)^4
ainsi xyzt<=1 alors 5-1/xyzt<=4
alors 1/x+1/y+1/z+1/t>=5-1/xyzt.avec egalite si seulement x=y=z=t=1
sauf erreur
amicalement

on a l'egalite quand x=y=z=t apres suffis de remplacer pour avoir x=y=z=t=1 ou faire le deuxieme cas d'egalite de l'autre sens,mais comme je vous l'ai di,peut etre y'a une autre solution puis convincible que la mienne
amicalement

resoudre dans R (dzl j'ai oublié )

yasserito t'as solution et bonne mais ya plus convincible

on sait que x +1/x>=2 d'ou x+y+z+t + 1/x +1/y+ 1/z + x/t >=8 alors 5-1/xyzt>=4 -----> xyzt>=1
d'autre part on apliquant am-gm x+y+z+t>=4( 4rac(xyzt)) d'ou xyzt =<1
conclusion xyzt=1
le systeme devien x+y+z+t+ 1/x +1/y +1/z +1/t=8 ----> (x+ 1/x -2) + (y+1/y -2) +(z+1/z-2)+(t+1/t-2) =0
(x-1/x)²+(y-1/y)²+(z-1/z)²+(t-1/t)²=0
S=(1,1,1,1)

boubou math a écrit:

yasserito t'as solution et bonne mais ya plus convincible

on sait que x +1/x>=2 d'ou x+y+z+t + 1/x +1/y+ 1/z + x/t >=8 alors 5-1/xyzt>=4 -----> xyzt>=1
d'autre part on apliquant am-gm x+y+z+t>=4( 4rac(xyzt)) d'ou xyzt =<1
conclusion xyzt=1
le systeme devien x+y+z+t+ 1/x +1/y +1/z +1/t=8 ----> (x+ 1/x -2) + (y+1/y -2) +(z+1/z-2)+(t+1/t-2) =0
(x-1/x)²+(y-1/y)²+(z-1/z)²+(t-1/t)²=0
S=(1,1,1,1)

oui vrm bonne methode, juste pour ce qui est en rouge tu n'as le droit de le dire que si x et y et z et t appartiennent a IR*+ qui n'est pas tjrs le cas puisque tu as di resoudre dans IR.
amicalement

ainsi ma methode est aussi fausse. je dois la rectifier
amicalement

mais dans ma demarche le faite de prouver que xyzt<=1 est independant de l'ensemble ou il appartient,et l'egalite ne se fait que si x=y=z=t. ainsi en remplacant dans l'egalite on obtient:x=y=z=t=1.j'avais une methode correcte (la chance)
sauf erreur
amicalement

c'est resoudre dans R+ (dzl pr la faute)

pas de problemes du tout. merci a toi pour la clarification