bijections

slt tout le monde a<b et c<d
1- trouvez une bijection de [a,b] sur [0,1] (afine)
2- trouvez une bijection de [0,1] sur [a,b] ....
3-trouvez une bijection de [a,b] sur [c,d] ...
4- montrez que f x -> x/(1+|x|) est une bijection de IR sur ]-1,1[.
5- en déduire une bijection de IR sur ]0,1[.
6- trouvez une bijection de IN sur Z.
7- MONTREZ que (n,m) -> 2^n(2m+1) est une bijection de IN*IN sur IN*.
8- en déduire une bijection de IN*IN sur IN.
bon courage
.

salut
1)considerez f:x---->ta+(1-t)b
2)(en cours ..)
3)f est impaire et croissante sur R+
7on prouve que qqsoit x de N ils existe un seule couple (m,n) tel que
x=2^n(2m+1) R(n)
pour cette raison on utiluse un raisonnement par reccurence sur n
si n=0 le couple (0.0) est unique
supposons R(n) est vrai et prouvons que R(n+1) est vrai
on a deux cas a destinguer
*n est pair==> n+1=2k+1==>(0.k)est unique
*n est impaire ==>n+1=2n'
n'= dapres l ypothese de recurnce existe un unique couple (m;n) / n'=2^n(2m+1)
donc n+1=2^(n+1)(2m+1) ==>(n+1;m) est unique
8)considerer (n,m) -> 2^n(2m+1)-1