Topologie

1)Montrer que l'ensemble U=IR²-{(x,y)£IR;x=-y} est un ouvert de IR².
2)Montrer que la fonction f:IR²-->IR définie par:
f(x,y)=arcsin((1-xy)/V(1+x²+y²+x²y²)) est différenitiable sur U.Calculer sa différentielle df(x,y).

1) F={(x,y)£IR;x=-y}=h^-1 {0} où h:R²-->R définie par :h(x,y)=x+y
h continue ==> F fermé==> U ouvert

2) x²+y² >=-2xy pour (x,y)€U
===> 1+x²+y²+x²y²=(1+x²)(1+y²) >= (1-xy)²=1-2xy+x²y²
==> |g(x,y)|=|(1-xy)/V(1+x²+y²+x²y²)|<= 1
==> f est bien définie sur U

df/dx=(dg/dx)/V(1-g²(x,y))
df/dy=(dg/dy)/V(1-g²(x,y))