svp

PROBLEME:
determinez touts les fonctions f de IR->IR qui satisfaitent la relation suivante:
fof(x) =x

f es un bijection de R sur R
si en plus f continue alors elle est strict. monotone

Si f croissante on a
f(x)>x <==> x>f(x) . alors f(x)=x qqs x

Si f décroissante. on pose a=f(0) <==> f(a)=0
f(x)=a-x qqs x

si f n'est pas continue
On peut fabriquer plusieurs exemples

voici un : f(x)=1/x si x#0 et f(0)=0
Généralement, la courbe de f est symétrique % à la première bissectrice.
Soit A l'ensemble des points fixes de f.
Donc f(x)=x pour x€A. Prendre pour x#f(x)=y , f(y)=x

qqn a écrit:

PROBLEME:
determinez touts les fonctions f de IR->IR qui satisfaitent la relation suivante:
fof(x) =x

Bonjour à tous,

1) Il y a bien d'autres solutions continues décroissantes :
f(x)=x^2$ pour x<=0 et f(x)=-sqrt x pour x>=0 par exemple.

2) Une solution générale (c'est à dire que toute solution peut se mettre sous cette forme) de f(f(x))=x est :
Soient A,B deux sous-ensemble disjoints et équipotents de R
Soit g une bijection de A --> B
Pour tout x de A : f(x)=g(x)
Pour tout x de B : f(x)=g^-1(x)
Pour tout x ni dans A ni dans B : f(x)=x

f est une bijection de R vers R:

Spoiler:

on note : f^-1 la bijection réciproque de f
Soit x£R, donc:
(f^-1of)(x)=x
{
(fof^-1)(x)=f(x)
Et ainsi:
(f^-1of)(x)=x
{
f(fof^-1)(x)=f(f(x) )
en remplaçant:
f(fof^-1)(x)=f(x)=x
J'attends vos confirmations.

al-kashi a écrit:

f est une bijection de R vers R:

on note : f^-1 la bijection réciproque de f
Soit x£R, donc:
(f^-1of)(x)=x

(fof^-1)(x)=f(x)

Euhh non : (fof^-1)(x)=x et non (fof^-1)(x)=f(x)

Et d'ailleurs le résultat aurait dû vous alerter. Vous ne trouvez que f(x)=x comme solution alors qu'il y a clairement une infinité de solutions (cf posts précédents), par exemple :
f(x)=x
f(x)=a-x
f(x)=1/x pour tout x non nul et f(0)=0
f(x)=x^2 pour x<=0 et f(x)=-sqrt(x) pour x>=0
....

pco a écrit:

Euhh non : (fof^-1)(x)=x et non (fof^-1)(x)=f(x)

Non.
EDIT: Je m'excuse, Pco a raison

al-kashi a écrit:

pco a écrit:

Euhh non : (fof^-1)(x)=x et non (fof^-1)(x)=f(x)

Non.

Avec tout le respect que je vous dois :

f°f^-1(x)=x par définition de f^-1 dans tous les cas (dès lors que f est une bijection)
f°f^-1(x)=f(x) veut dire f(x)=x, ce qui est évidemment faux par exemple pour f(x)=1-x qui respecte bien f(f(x))=x, et donc f(x)=f^-1(x) et qui pourtant ne respecte pas f°f^-1(x)=f(x), comme vous l'avez écrit.

Donc, je me permets d'insister :
(fof^-1)(x)=f(x) est faux en général pour les fonctions qui respectent f°f=x
(fof^-1)(x)=x est vrai pour toute bijection f.

Et je ne comprends pas votre "non".
Peut-être ne nous comprenons-nous pas sur certaines notations ?

Salut,
Je suis désolé, vous avez raison "pco". Je n'avais nullement l'intention de vous manquer de respect, je suis tout simplement passé dessus un peu trop vite.