SYSTEME CASSE-TETE

Sujet: SYSTEME CASSE-TETE Mar 08 Mar 2011, 21:35

résoudre dans IR²:
{x^3-y^3=7(x-y)
{x^3+y^3=5(x+y)

Sujet: Re: SYSTEME CASSE-TETE Mar 08 Mar 2011, 21:40

Entrain de rédiger la solution, troooop big, mais faisable ... Smile

Si ma mémoire est bonne, je crois que j'ai déjà travaillé à cet exo dans un old-olymp. de tanger-tet de TC.

Sujet: Re: SYSTEME CASSE-TETE Mar 08 Mar 2011, 21:57

si x=y alors x=y=0 ou x=y=V5 ou x=y=-V5
si x=-y alors x=y=0 ou x=-y=V7 ou x=-y=-V7
x#y et x#-y alors le systeme devient:
{x²+y²+xy=7
{x²+y²-xy=5
alors x²+y²=6 et xy=1 alors x+y=2V2 et xy=1 ou x+y=-2V2 et xy=1
alors (x=V2-1 et y=V2+1) ou (x=V2+1 et y=V2-1 )
ou (x=-V2+1 et y=-V2-1) ou (x=-V2-1 et y=-V2+1 )
sauf erreur.
amicalement ;D

Sujet: Re: SYSTEME CASSE-TETE Mar 08 Mar 2011, 22:01

ali-mes a écrit:: Entrain de rédiger la solution, troooop big, mais faisable ...
Si ma mémoire est bonne, je crois que j'ai déjà travaillé à cet exo dans un old-olymp. de tanger-tet de TC.

oui ta memoire est bonne hh, je ne crois aps que c'est trop lent sauf si j'ai fait des erreurs.merci de les rectifier s'il en existent Very Happy

Sujet: Re: SYSTEME CASSE-TETE Mar 08 Mar 2011, 22:22

On résous dans $SYSTEME CASSE-TETE Gif$ le système $SYSTEME CASSE-TETE Gif.latex?\left\{\begin{matrix}%20x^3-y^3=7(x-y)\\%20x^3+y^3=5(x+y)%20\end{matrix}\right$
$SYSTEME CASSE-TETE Gif.latex?\Leftrightarrow%20\left\{\begin{matrix}%20(x-y)(x^2+xy+y^2)=7(x-y)\\%20(x+y)(x^2-xy+y^2)=5(x+y)%20\end{matrix}\right$
$SYSTEME CASSE-TETE Gif.latex?\Leftrightarrow%20\left\{\begin{matrix}%20x-y=0\;%20ou\;%20x^2+xy+y^2=7\\%20x+y=0\;%20ou\;%20x^2-xy+y^2=5%20\end{matrix}\right$
On a $SYSTEME CASSE-TETE Gif$ .
D'où: $SYSTEME CASSE-TETE Gif.latex?\left\{\begin{matrix}%20x-y=0\\%20x+y=0%20\end{matrix}\right.\;%20\;%20ou\;%20\;%20\left\{\begin{matrix}%20x-y=0\\%20x^2-xy+y^2=5%20\end{matrix}\right.\;%20\;%20ou\;%20\;%20\left\{\begin{matrix}%20x^2+xy+y^2=7\\%20x+y=0%20\end{matrix}\right.\;%20\;%20ou\;%20\;%20\left\{\begin{matrix}%20x^2+xy+y^2=7\\%20x^2-xy+y^2=5%20\end{matrix}\right$
$SYSTEME CASSE-TETE Gif.latex?\Leftrightarrow%20\left\{\begin{matrix}%20x=y=0%20\end{matrix}\right.\;%20\;%20ou\;%20\;%20\left\{\begin{matrix}%20x=y\\%20x^2-x^2+x^2=5%20\end{matrix}\right.\;%20\;%20ou\;%20\;%20\left\{\begin{matrix}%20x=-y\\%20x^2-x^2+x^2=7%20\end{matrix}\right.\;%20\;%20ou\;%20\;%20(*)\left\{\begin{matrix}%20x^2+y^2=6\\%20xy=1%20\end{matrix}\right$
$SYSTEME CASSE-TETE Gif.latex?\Leftrightarrow%20\left\{\begin{matrix}%20x=y=0%20\end{matrix}\right.\;%20\;%20ou\;%20\;%20\left\{\begin{matrix}%20x=y\\%20x=\sqrt{7}\;%20ou\;%20x=-\sqrt{7}%20\end{matrix}\right.\;%20\;%20ou\;%20\;%20\;%20\left\{\begin{matrix}%20x=y\\%20x=\sqrt{5}\;%20\;%20ou\;%20\;%20x=-\sqrt{5}%20\end{matrix}\right.\;%20\;%20\;%20ou\;%20\;%20\;(*)%20\left\{\begin{matrix}%20x^2+y^2=6\\%20x^2y^2=1%20\end{matrix}\right$
On résous (*):
x² et y² sont les solutions de l'équation:
t²-6t+1=0
$SYSTEME CASSE-TETE Gif$
donc: $SYSTEME CASSE-TETE Gif.latex?\left\{\begin{matrix}%20x^2=3-2\sqrt{2}\\%20y^2=3+2\sqrt{2}%20\end{matrix}\right.\;%20\;%20ou\;%20\;%20\left\{\begin{matrix}%20x^2=3+2\sqrt{2}\\%20y^2=3-2\sqrt{2}%20\end{matrix}\right$
Et on a xy=1 $SYSTEME CASSE-TETE Gif$ 0 donc x et y ont les mêmes signes, d'où:
$SYSTEME CASSE-TETE Gif.latex?\left\{\begin{matrix}%20x=\sqrt{3-2\sqrt{2}}=\sqrt{2}-1\\%20y=\sqrt{3+2\sqrt{2}}=\sqrt{2}+1%20\end{matrix}\right.\;%20\;%20ou\;%20\;%20\left\{\begin{matrix}%20x=-\sqrt{3-2\sqrt{2}}=-\sqrt{2}+1\\%20y=-\sqrt{3+2\sqrt{2}}=-\sqrt{2}-1%20\end{matrix}\right.\;%20\;%20ou\;%20\;%20\left\{\begin{matrix}%20x=\sqrt{3+2\sqrt{2}}=\sqrt{2}+1\\%20y=\sqrt{3-2\sqrt{2}}=\sqrt{2}-1%20\end{matrix}\right.%20\;%20\;%20ou\;%20\;%20\;%20\left\{\begin{matrix}%20x=-\sqrt{3+2\sqrt{2}}=-\sqrt{2}-1\\%20y=-\sqrt{3-2\sqrt{2}}=-\sqrt{2}+1%20\end{matrix}\right$

SYNTHÈSE:
$SYSTEME CASSE-TETE (-\sqrt{2}-1;-\sqrt{2}+1)%20\right%20\}$

FINALEMENT Very Happy

Sujet: Re: SYSTEME CASSE-TETE Mar 08 Mar 2011, 22:23

yasserito a écrit:: si x=y alors x=y=0 ou x=y=V5 ou x=y=-V5
si x=-y alors x=y=0 ou x=-y=V7 ou x=-y=-V7
x#y et x#-y alors le systeme devient:
{x²+y²+xy=7
{x²+y²-xy=5
alors x²+y²=6 et xy=1 alors x+y=2V2 et xy=1 ou x+y=-2V2 et xy=1
alors (x=V2-1 et y=V2+1) ou (x=V2+1 et y=V2-1 )
ou (x=V2-1 et y=-V2-1) ou (x=-V2-1 et x=V2-1 )
sauf erreur.
amicalement ;D

Tu as raté quelques couples Smile

Sujet: Re: SYSTEME CASSE-TETE Mar 08 Mar 2011, 22:52

NN, j'ai rien rate M.ali mes
amicalement Very Happy

Sujet: Re: SYSTEME CASSE-TETE Mar 08 Mar 2011, 22:58

yasserito a écrit:: NN, j'ai rien rate M.ali mes
amicalement

Si, vous avez raison cher ami, je dois rectifier mes lunettes !!! Embarassed

Sujet: Re: SYSTEME CASSE-TETE Ven 11 Mar 2011, 22:08

J'ai passé aujourd'hui l'olympiade premiere étape j'aurai entre 8e et 16 / 20 mais vu ce genre d'exercice je n'arrive pas a suivre le rythme et cela me désancourage trop HELP !! une solution !!

» casse tête
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» un pti casse tete