Groupes

je vous prie de m'aider pour ces deux exos

premier exo:
Soit M3(Z) l'ensemble des matrices carrées d'ordre 3 à coefficients entiers relatifs
*) montrer que si M appartient à M3(Z), M admet un inverse de M3(Z) <=> det(M)=+/-1
**) montrer que GLn(Z)={M appartient à M3(Z) avec M admet un inverse} est un sous groupe de GLn(IR)




deuxieme exo:
Soit G un sous groupe de (IR,+)
*) montrer l'existence de a=Inf(G inter IR+*)
**) montrer que si a>0 , on a G=aZ
***) montrer que si a=0, on a G est dense dans IR


merci à l'avance

last knight a écrit:

je vous prie de m'aider pour ces deux exos

premier exo:
Soit M3(Z) l'ensemble des matrices carrées d'ordre 3 à coefficients entiers relatifs
*) montrer que si M appartient à M3(Z), M admet un inverse de M3(Z) <=> det(M)=+/-1
**) montrer que GLn(Z)={M appartient à M3(Z) avec M admet un inverse} est un sous groupe de GLn(IR)




deuxieme exo:
Soit G un sous groupe de (IR,+)
*) montrer l'existence de a=Inf(G inter IR+*)
**) montrer que si a>0 , on a G=aZ
***) montrer que si a=0, on a G est dense dans IR


merci à l'avance

BSR
exo 1 :
*) M est inversible dans M3(Z) ,il existe B £ M3(Z) tq MB=I_3 det(M)*det(B)=1 ==> det(M)=+-1 maintenant soit M de M3(Z) tel que detM²=1 alors il existe B de M3(R) tel que MB= I_3 (*) posons B=(C1 C2 C3) alors (*) <=> S_i : MC_i=C'_i avec I_3=( C_1' C_2' C_3')
la formule de cramer et le fait que detM=+-1 impliquent que C_i £ M(3,1)(Z) ( les matrices colonnes) d'ou le résultat

exo 2:
j'ai pas le temps de rédiger , tu le trouveras certainement sur ce forum

merci bien pour votre attention

j'espère que vous m'aiderez pour trouver la réponse de l'exo 2