equipotence

soit E un ensemble infini montrez que E et E*E sont equipotents (* : produit cartésien)

une idée en vrac dans le cas dénombrable

si E est dénombrable il peut être assimilé à N et E carré peut être assimilé à N carré

on pose l'application suivante de N carré vers N
(x,y) associe 2àlapuissancex fois 3 à la puissance y c'est une injection de N carré vers N

on pose
l'application de N vers N carré

x associe (x,0)

c'est aussi une injection de N vers N carré

par le théorème de Cantor Breinstein il existe une bijection entre N et N carré.

conclusion ils sont équipotent.

Lorsque E est infini dénombrable, E~IN ( équipotent)
L'application f:INxIN ---> IN définie par : f(x,y)=x+(x+y)(x+y+1)/2 est bijective. ( Classique)

BSR maybachh

oui le cas dénombrable est le plus simple , je vous invite a montrer la proposition pr E=R c'est interessant aussi , pour le cas général : il existe une solution qui n'est pas élementaire (avec les nombres ordinaux ), j'ai posté ce probleme en espérant qu'un membre poste une solution elementaire

Lorsque E~IR, on a IR~]0,1[ il suffit alors de trouver une bijection entre ]0,1[ et ]0,1[²

Soit t€]0,1[, sa représentation décimale (propre) s'écrit : t=0,a_1.....a_n... où les a_i sont dans {0,1,...,9}

On pose f(t)=(x,y) avec x=0,a_1a_3....a_(2n+1)... et y=0,a_2a_4,....a_(2n)...
Alors f est une bijection de ]0,1[ sur ]0,1[²