olympiade

Bonne chance !

Bonjour

Le premier exercice paraît facile

A= y/1+y + z/1+z - x/1+x = y+yx+yz+xyz+z+zx+zy+xyz-x-xy-xz-xyz / (1+x)(1+y)(1+z)

A= y+z-x + xyz + 2yz

On a x < y+z donc y+z-x>0 et on a (x,y,z)∊R+ donc xyz+2yz >0 et (1+x)(1+y)(1+z)>0

===> A>0 ===> x/1+x< y/1+y + z/1+z

Bonjour

Le premier exercice paraît facile

A= y/1+y + z/1+z - x/1+x = (y+yx+yz+xyz+z+zx+zy+xyz-x-xy-xz-xyz) /(1+x)(1+y)(1+z)

A= (y+z-x + xyz + 2yz)/(1+x)(1+y)(1+z)

On a x < y+z donc y+z-x>0 et on a (x,y,z)∊R+ donc xyz+2yz >0 et (1+x)(1+y)(1+z)>0

===> A>0 ===> x/1+x< y/1+y + z/1+z

Le deuxième exercice :


4x²+10x+9 = 5√(2x^2+5x+3)
(4x²+10x+9)² = 25(2x²+5x+3)
(4x²+10x+9)² -25(2x²+5x+3)=0
(4x²)²+ (10x+9)²+ 8x²(10x+9)-25(2x²+5x+3)=0
16x^4+100x²+81+180x+80x^3+72x²-50x²-125x-75=0
16x^4+80x^3+122x²+55x+6=0
On remarque que x=-2 est une solution de cette équation donc :
(x+2)(16x^3+48x²+26x+3)=0
x+2=0 ===> x=-2
ou
16x^3+48x²+26x+3=0
on remarque que x=-1/2 est une solution de cette équation, alors :
(x+1/2 )(16x²+40x+6)=0 ===> x+1/2=0 ou 16x²+40x+6=0
===> x=-1/2 ou x=(-40+8√19)/32 ou x=(-40-8√19)/32
(Avec ∆)
Les solutions de l’équation 4x²+10x+9 = 5√(2x^2+5x+3) sont les suivantes :
x=-2 ou x=-1/2 ou x=(-5+√19)/4 ou x=(-5-√19)/4

Et voilà

salut :
l'exo 3:
Supposant que a=11…1(n chiffres) donc 11…1(n+1chiffres)=10a+1 et 66…6 (n chiffres)=6a.
444…4(2n chiffres)=4*1…11(2n chiffres)=4a(10^n+1).
Si 10^n=9…99(n chiffres)+1=9a+1 donc 44…4(2n chiffres)=4a(9a+2)
Donc √(44…4(2n chiffres)+11…1(n+1chiffres)- 66…6 (n chiffres))= √(36a^2+12a+1)= √(6a+1)^2=6a+1
=66…6 (n chiffres)+1=66….67(66…6 n-1 chiffres).
amicalement

L'ex 2 :
4x²+10x+9 = 5√(2x²+5x+3)
----> (4x²+10x+9)² = 25(2x²+5x+3)
-----> [ 2(2x²+5x+3)+3]² = 25(2x²+5x+3)
------> 4(2x²+5x+3)² +12(2x²+5x+3)+9 = 25(2x²+5x+3)
------> 4( 2x²+5x+3)² -13(2x²+5x+3) +9 =0
On met X = 2x²+5x+3
c ki donne 4X -13X +9 =0
avec ∆ sa donne : X=1 Ou X= 9/4
Donc 2x²+5x+3 = 1 Ou 2x²+5x+3 = 9/4
---> 2x²+5x+2=0 Ou 2x²+5x+3/4=0
avec encor une fois avec ∆ , On resout les 2 equation et On obtient les solution suviantes : -1/2 ; -2 ; (-5-√19)/4 ; (-5+√19)/4 . Qui sont les solution de l'exo