Restitution Organisée de Connaissances ROC

BONJOUR

Pouvez vous m'aider SVP sur ce ROC :

Dans cet exercice la fonction exponentielle n'est pas supposée connue.

Soit f une fonction dérivable sur IR, telle que

f(0)=1 et f'=k.f

1) montrer que f(x+y).f(-x)=f(y) pout tous x et y
2) a) En déduire que f(x).f(-x)=1 et que f(x)<>0 pour tout x
b) Montrer que f(x) >0 pour tou x
3) Montrer que si f et g sont dérivables sur IR et vérifiant :

(f(0)=1 et f'=k.f) ainsi que (g(0)=1 et g'=k.g) alors f=g.

MERCI

MERCI

1- soit h x -> f(x+y)f(-x) - f(y) h est dérivable sur IR
h'(x)=o pour tout x de IR donc h= ct or h(o)=o donc h=o ie
f(x+y)f(-x)=f(y) pour tout x et y dans IR.
2- a) prend y=o dans la relation
f(x) f(-x)=1 donc f(x)<> o pour tout x de IR .
f ne s'annule pas sur IR et f continue sur IR alors f garde un signe constant sur IR. or f(o)=1 donc f(x)>0 pour tout x de IR .
3-...

3- montrez que f/g=1

(montre que (f/g)'=o )
bon courage