Jolie inégalité !

Bonsoir tout le Monde
1)
Si a,b,c sont des réels positifs tels que $Jolie inégalité ! 56a9a53cac60e119936e5698f2521bddcd6db90d$
Montrer que :

$Jolie inégalité ! 4f3763c383c6385c738549e3d1c12f71b5bf4db8$

2)
si a,b,c, sont les cotés d'un triangle MQ :

$Jolie inégalité ! 4f3763c383c6385c738549e3d1c12f71b5bf4db8$

(Own)

Expert sup Nombre de messages : 1482 Age : 30 Date d'inscription : 12/12/2009

Il suffit de poser a=c+x+y et b=c+x (et d'être un peu patient) pour tuer le problème.

Dijkschneier a écrit:: Il suffit de poser a=c+x+y et b=c+x (et d'être un peu patient) pour tuer le problème.

la premiere inégalité est triviale (elle se fait en 2 lignes) meme sans patience mais la 2ème est jolie ..

Expert sup Nombre de messages : 1482 Age : 30 Date d'inscription : 12/12/2009

Sporovitch a écrit:

Dijkschneier a écrit:: Il suffit de poser a=c+x+y et b=c+x (et d'être un peu patient) pour tuer le problème.

la premiere inégalité est triviale (elle se fait en 2 lignes) meme sans patience

Oui, c'est vrai Wink

Sporovitch a écrit:: mais la 2ème est jolie ..

OK.

Solution de la première inégalité: D'après l'inégalité du réordonnement nous avons :
$Jolie inégalité ! Gif.latex?a^{3}b+b^{3}c+c^{3}a=a^{2}b.a+b^{2}c.b+c^{2}a$
Aussi d'après l'inégalité du réordonnement deux fois :
$Jolie inégalité ! Gif.latex?a^{3}b+b^{3}c+c^{3}a\geq&space;\sum&space;a^{2}b^{2}=a^{2}.b.b+b^{2}c.c+c^{2}a.a&space;\geq&space;a^{2}b.c+b^{2}c.a+c^{2}a$
En sommant on trouve le résultat voulu.

Expert sup Nombre de messages : 817 Age : 31 Date d'inscription : 31/10/2009

C'est l'inégualité de Muirhead après développement je pense :
[3,1] majore [2,2]

darkpseudo a écrit:: C'est l'inégualité de Muirhead après développement je pense :
[3,1] majore [2,2] et [2,1]

Oui en effet, il y a plusieurs façons de tuer cette petite inégalité.
Mais, une question, la condition a>=b>=c n'est pas valable pour la deuxième inégalité?

Expert sup Nombre de messages : 817 Age : 31 Date d'inscription : 31/10/2009

Désolé pour le double post , mais ta démo est fausse ( ou c'est moi qui ai mal calculé ) enfin prend a=3,b=2,c=1 dans ta dernière inégalité

darkpseudo a écrit:: Désolé pour le double post , mais ta démo est fausse ( ou c'est moi qui ai mal calculé ) enfin prend a=3,b=2,c=1 dans ta dernière inégalité

Merci, c'est rectifié.

Sporovitch a écrit:: Bonsoir tout le Monde

si a,b,c, sont les cotés d'un triangle MQ :

$Jolie inégalité ! 4f3763c383c6385c738549e3d1c12f71b5bf4db8$

(Own)

$Jolie inégalité ! Gif$

majdouline a écrit:: $Jolie inégalité ! Gif$

Oui!
celle la est aussi vraie $Jolie inégalité ! 644c2d6bf0e0370bb557025fade7f04249c00946$

Sporovitch a écrit:: Bonsoir tout le Monde
1)
Si a,b,c sont des réels positifs tels que $Jolie inégalité ! 56a9a53cac60e119936e5698f2521bddcd6db90d$
Montrer que :

$Jolie inégalité ! 4f3763c383c6385c738549e3d1c12f71b5bf4db8$

2)
si a,b,c, sont les cotés d'un triangle MQ :

$Jolie inégalité ! 4f3763c383c6385c738549e3d1c12f71b5bf4db8$

(Own)

salut est ce que vous pouvez nous donner la reponse monsieur "Sporovitch" et merci d'avance????????