Cinquième Olympiade de Première [22 Avril 2011]

Exercice 1:
Soient a,b et c trois nombres réels strictement positifs.

Montrer que : $Cinquième Olympiade de Première [22 Avril 2011] Gif$

Exercice 2 :(Estonian IMO 2010)
Soient $Cinquième Olympiade de Première [22 Avril 2011] Gif$ les angles d'un triangle ABC de périmètre 2p et soit R le rayon de son cercle circonscrit :
a) Montrer que $Cinquième Olympiade de Première [22 Avril 2011] Gif$
b) Quel est le cas d'égalité.

Exercice 3:
Soient deux cercles (C1) et (C2) tangents intérieurement au point P. Une droite (D) tangent au cercle intérieur (C1) en R coupe (C2) en deux points M et N.
Montrer que [PR) est bissectrice de l'angle <MPN.

Exercice 4:(Estonian MC 2010)
Les diagonales d'un trapèze ABCD de Bases [AB] et [CD] se coupent en P. Montrez que :
$Cinquième Olympiade de Première [22 Avril 2011] Gif$

P.S: Je postes mes solutions aux 4 exos dans mon prochain post

Mehdi.O a écrit:: Je postes mes solutions aux 4 exos dans mon prochain post

Cela veut dire que le test est à ta portée, c'est en effet le cas chez moi aussi.
Trois problèmes sont triviales, en l'occurrence le premier, le second, et le dernier.
J'ai passé des moments difficile avec le problème 3, et j'ai réussi à le faire finalement.
C'est le seul exercice dont j'attends une solution, et je propose la mienne plus tard.
Grosso modo, le test est très facile par rapport au troisième...

Solution au problème 1:
Par AM.GM nous avons : $Cinquième Olympiade de Première [22 Avril 2011] Gif$
En multipliant, et compte de la positivité des termes, le résultat en découle ...

Solution au problème 2:
Notons que : $Cinquième Olympiade de Première [22 Avril 2011] Gif$
Aussi : $Cinquième Olympiade de Première [22 Avril 2011] Gif$
Ainsi l'inégalité équivaut à:
$Cinquième Olympiade de Première [22 Avril 2011] Gif.latex?(\sum&space;sin\alpha&space;)^{2}$
D'autre part, I.A.G donne :
$Cinquième Olympiade de Première [22 Avril 2011] Gif$
Aussi: $Cinquième Olympiade de Première [22 Avril 2011] Gif$

En multipliant on déduit le résultat.

b) Puisque la seule inégalité utilisée est I.A.G et son cas d'égalité est lorsque les termes sont égaux. Donc le cas d'égalité est quand ABC est équilatéral.

Solution au problème 3:

Cinquième Olympiade de Première [22 Avril 2011] X10

Notons D le point d'intersection de [PR] ave (C2) et G,E les points d'intersection de [PM] et [PN] avec (C1). Finalement prenons une droite qui est tangente aux deux cercles, et soit F et F' deux points arbitraires sur cette droite.
Nous avons : $Cinquième Olympiade de Première [22 Avril 2011] Gif.latex?\angle&space;PRG=\angle&space;F'PG=\angle&space;F'PN=\angle&space;PDN$ Aussi nous avons :
$Cinquième Olympiade de Première [22 Avril 2011] Gif$

Le résultat en découle ...

Solution au problème 4:
Notons $Cinquième Olympiade de Première [22 Avril 2011] Gif$
D'après Thalès(Vu que (AB)||(DC)) : $Cinquième Olympiade de Première [22 Avril 2011] Gif.latex?\frac{AP}{PC}=\frac{BP}{PD}\Rightarrow&space;AP.PD=BP$ . D'autre part nous avons:
$Cinquième Olympiade de Première [22 Avril 2011] Gif$ Pour un alpha quelconque.
Nous avons : $Cinquième Olympiade de Première [22 Avril 2011] Gif$
En outre $Cinquième Olympiade de Première [22 Avril 2011] Gif.latex?S_{PBC}^{2}=S_{PBC}.S_{PDA}=\frac{1}{4}.sin^{2}\alpha&space;.AP.PB.PC.PD=S_{PAB}$
Ainsi $Cinquième Olympiade de Première [22 Avril 2011] Gif$
Ainsi l'inégalité est équivalente à : $Cinquième Olympiade de Première [22 Avril 2011] Gif$
Ce qui est vrai.
En gros j'ai fini l'épreuve en 1h15 min ...

Mehdi.O a écrit:: Solution du problème 4:
Ainsi l'inégalité est équivalente à : $Cinquième Olympiade de Première [22 Avril 2011] Gif$
Ce qui est vrai.

Pourquoi tu as ôté le cas d'égalité?
Car si x=y, la dernière préposition est fausse.
Je ne sais même pas pourquoi on ne demande pas de cas d'égalité ici, qui est lorsque ABCD sera un rectangle.

nmo a écrit:

Mehdi.O a écrit:: Solution du problème 4:
Ainsi l'inégalité est équivalente à : $Cinquième Olympiade de Première [22 Avril 2011] Gif$
Ce qui est vrai.

Pourquoi tu as ôté le cas d'égalité?
Car si x=y, la dernière préposition est fausse.
Je ne sais même pas pourquoi on ne demande pas de cas d'égalité ici, qui est lorsque ABCD sera un rectangle.

A mon avis, c'est un trapèze strictement, d'ailleurs j'ai pensé pourquoi nous n'avons pas l'égalité, mais sinon ce sera un rectangle.
Sinon mes solutions sont justes?

Dans l'énoncé c'est strictement, c'est pour cela ...

Mehdi.O a écrit:: Sinon mes solutions sont justes?

Il me parait que tes solutions sont bonnes.
Merci de proposer un sondage à l'instar des tests proposés par Dijkschneier.
Il fallait mieux écrire comme titre ""Cinquième olympiade de première: [22 Avril 2011]"".

Maître Nombre de messages : 148 Age : 30 Date d'inscription : 31/12/2009

Voici ma solution pour le quatrième:(éspérant qu'elle serait juste car c'est la première fois que je travaille la géométrie)
Avec thales on a (AB)||(DC)) : $Cinquième Olympiade de Première [22 Avril 2011] Gif.latex?\frac{AP}{BP}=\frac{PC}{PD}\Rightarrow&space;AP.PD=BP$ . D'autre part nous avons:
$Cinquième Olympiade de Première [22 Avril 2011] Gif$
Nous avons : $Cinquième Olympiade de Première [22 Avril 2011] Gif$
D'autre part $Cinquième Olympiade de Première [22 Avril 2011] Gif.latex?S_{APB}=\frac{1}{2}.sin({\angle{APB}})AP$
Ainsi $Cinquième Olympiade de Première [22 Avril 2011] Gif.latex?S_{PDC}=\frac{1}{2}PD.PC$
Ainsi l'inégalité $Cinquième Olympiade de Première [22 Avril 2011] Gif$ équivaut à $Cinquième Olympiade de Première [22 Avril 2011] Gif.latex?AP.PB+PD.PC>2AP$
D'où en découle le résultat.

louis a écrit:: Voici ma solution pour le quatrième:(éspérant qu'elle serait juste car c'est la première fois que je travaille la géométrie)
Avec thales on a (AB)||(DC)) : $Cinquième Olympiade de Première [22 Avril 2011] Gif.latex?\frac{AP}{BP}=\frac{PC}{PD}\Rightarrow&space;AP.PD=BP$ . D'autre part nous avons:
$Cinquième Olympiade de Première [22 Avril 2011] Gif$
Nous avons : $Cinquième Olympiade de Première [22 Avril 2011] Gif$
D'autre part $Cinquième Olympiade de Première [22 Avril 2011] Gif.latex?S_{APB}=\frac{1}{2}.sin({\angle{APB}})AP$
Ainsi $Cinquième Olympiade de Première [22 Avril 2011] Gif.latex?S_{PDC}=\frac{1}{2}PD.PC$
Ainsi l'inégalité $Cinquième Olympiade de Première [22 Avril 2011] Gif$ équivaut à $Cinquième Olympiade de Première [22 Avril 2011] Gif.latex?AP.PB+PD.PC>2AP$
D'où en découle le résultat.

Tu dois démontrer la dernière inégalité

Maître Nombre de messages : 148 Age : 30 Date d'inscription : 31/12/2009

J'ai factorisé et fait la soustraction.

Oui je crois que c'est trivial en utilisant la relation de thalès.

Maître Nombre de messages : 158 Age : 30 Date d'inscription : 02/12/2010

desolé mehdi pe etre tu a le quatrieme faux !
amicalement , as tu trouver toutes les solutions de lexamen ?

Expert sup Nombre de messages : 1665 Age : 30 Date d'inscription : 05/03/2010

Le test était facile en effet . Une belle journée avec la géométrie Smile

Et bien joué Mehdi ! Mais il fallait démontrer le Cygma (Sin x) = P/R Wink

Habitué Nombre de messages : 28 Age : 48 Date d'inscription : 02/03/2011

En ce qui me concerne, la géométrie est loin d'être mon point fort et donc je n'ai quasiment résolu que deux exos.

tahasinbad a écrit:: desolé mehdi pe etre tu a le quatrieme faux !
amicalement , as tu trouver toutes les solutions de lexamen ?

Merci de préciser la faute Very Happy

! Quoique elle n'est pas fausse.

M.Marjani a écrit:: Le test était facile en effet . Une belle journée avec la géométrie

Et bien joué Mehdi ! Mais il fallait démontrer le Cygma (Sin x) = P/R

C'est un théorème, et ne doit pas être démontré, car il figure dans les théorèmes que le minitère a mis en disposition pour les participants aux olympiades.

Maître Nombre de messages : 148 Age : 30 Date d'inscription : 31/12/2009

M.Marjani a écrit:: Et bien joué Mehdi ! Mais il fallait démontrer le Cygma (Sin x) = P/R

On a selon la loi des sinus $Cinquième Olympiade de Première [22 Avril 2011] Gif$ .
Et avec la proportinnalité on a $Cinquième Olympiade de Première [22 Avril 2011] Gif$ .
Donc $Cinquième Olympiade de Première [22 Avril 2011] Gif$ .
Donc $Cinquième Olympiade de Première [22 Avril 2011] Gif$ .
Donc $Cinquième Olympiade de Première [22 Avril 2011] Gif$ .
Enfin $Cinquième Olympiade de Première [22 Avril 2011] Gif$ .
CQFD.

louis a écrit:

M.Marjani a écrit:: Et bien joué Mehdi ! Mais il fallait démontrer le Cygma (Sin x) = P/R

On a selon la loi des sinus $Cinquième Olympiade de Première [22 Avril 2011] Gif$ .

En effet, il faut étudier les six cas possibles, car on ne sait pas l'angle qui se trouve face à BC (a).
Cependant le résultat reste le même dans tous les cas.

nmo a écrit:

louis a écrit:

M.Marjani a écrit:: Et bien joué Mehdi ! Mais il fallait démontrer le Cygma (Sin x) = P/R

On a selon la loi des sinus $Cinquième Olympiade de Première [22 Avril 2011] Gif$ .

En effet, il faut étudier les six cas possibles, car on ne sait pas l'angle qui se trouve face à BC (a).
Cependant le résultat reste le même dans tous les cas.

Non. La situation est symétrique, et je ne vois pas pourquoi il faut étudier les six cas ?!

Maître Nombre de messages : 153 Age : 30 Date d'inscription : 21/04/2010

En gros ,test pas à hauteur des attentes.

Habitué Nombre de messages : 28 Age : 48 Date d'inscription : 02/03/2011

Ceci est sans doute hors sujet, mais j'aimerais bien savoir comment vous faites pour écrire vos documents en Latex.
Ca prend du temps pour tout taper à la main sur le forum...

Expert sup Nombre de messages : 1482 Age : 30 Date d'inscription : 12/12/2009

Voici ma solution au problème 3 :
Cinquième Olympiade de Première [22 Avril 2011] 27553951

Spoiler:

Dijkschneier a écrit:

Voici ma solution au problème 3 :
Cinquième Olympiade de Première [22 Avril 2011] 27553951

Spoiler:

Bien. Il s'est avèré que moi aussi j'ai pensé à introduire les centres des cercles durant le test, mais j'ai préféré procéder par une chasse d'angle facile.

Maître Nombre de messages : 139 Age : 30 Date d'inscription : 26/02/2011

Belle solution Dijkschneier .. Smile

Expert sup Nombre de messages : 1482 Age : 30 Date d'inscription : 12/12/2009

Merci Ayoub Smile