maximum value

Habitué Nombre de messages : 27 Age : 34 Date d'inscription : 25/04/2011

If $maximum value Gif$ and $maximum value Gif.latex?\mathbf{P%20=%205+tanA.tanB,%20Q%20=%205+tanB.tanC,%20R%20=%205+tanC$ . then find Maximum value of $maximum value Gif$

jacks a écrit:: If $maximum value Gif$ and $maximum value Gif.latex?\mathbf{P%20=%205+tanA.tanB,%20Q%20=%205+tanB.tanC,%20R%20=%205+tanC$ . then find Maximum value of $maximum value Gif$

Je vais répondre:
On a d'un côté:
$maximum value Gif.latex?\begin{align*}\tan{B+C}=\frac{\tan{B}+\tan{C}}{1-\tan{B}.\tan{C}}&\Leftrightarrow \tan{(\frac{\pi}{2}-A)}=\frac{\tan{B}+\tan{C}}{1-\tan{B}.\tan{C}}\\&\Leftrightarrow \frac{1}{\tan{A}}=\frac{\tan{B}+\tan{C}}{1-\tan{B}.\tan{C}}\\&\Leftrightarrow1-\tan{B}.\tan{C}=\tan{A}.(\tan{B}+\tan{C})\\&\Leftrightarrow\tan{A}.\tan{B}+\tan{B}.\tan{C}+\tan{C}$ .
Et d'un autre côté, on a selon l'inégalité de Caushy schwartz:
$maximum value Gif.latex?\begin{align*}(\sqrt{P}+\sqrt{Q}+\sqrt{R})^2&\le3\bigg((\sqrt{P})^2+(\sqrt{Q})^2+(\sqrt{R})^2\bigg)\\&=3(P+Q+R)\\&=3(5+\tan{A}.\tan{B}+5+\tan{B}.\tan{C}+5+\tan{C}.\tan{A})\\&=3\bigg(15+(\tan{A}.\tan{B}+\tan{B}.\tan{C}+\tan{C}$ .
Donc $maximum value Gif$ .
Il s'ensuit que la valeur maximale de $maximum value Gif$ est $maximum value Gif$ .
Ce maximum est attent si et seulement si $maximum value Gif$ .
Donc $maximum value Gif.latex?5+\tan{A}.\tan{B}=5+\tan{B}.\tan{C}=5+\tan{C}$ .
Soit $maximum value Gif.latex?\tan{A}.\tan{B}=\tan{B}.\tan{C}=\tan{C}$ .
Et puisque les réels A, B, et C sont supérieurs à 0, alors $maximum value Gif$ , $maximum value Gif$ , et $maximum value Gif$ .
Et par conséquent $maximum value Gif$ .
Et en vertu de $maximum value Gif$ , il vient $maximum value Gif$ .
CQFD.
Sauf erreur.

Expert sup Nombre de messages : 1665 Age : 30 Date d'inscription : 05/03/2010

nmo a écrit:

jacks a écrit:: If $maximum value Gif$ and $maximum value Gif.latex?\mathbf{P%20=%205+tanA.tanB,%20Q%20=%205+tanB.tanC,%20R%20=%205+tanC$ . then find Maximum value of $maximum value Gif$

Je vais répondre:
On a d'un côté:
$maximum value Gif.latex?\begin{align*}\tan{B+C}=\frac{\tan{B}+\tan{C}}{1-\tan{B}.\tan{C}}&\Leftrightarrow \tan{(\frac{\pi}{2}-A)}=\frac{\tan{B}+\tan{C}}{1-\tan{B}.\tan{C}}\\&\Leftrightarrow \frac{1}{\tan{A}}=\frac{\tan{B}+\tan{C}}{1-\tan{B}.\tan{C}}\\&\Leftrightarrow1-\tan{B}.\tan{C}=\tan{A}.(\tan{B}+\tan{C})\\&\Leftrightarrow\tan{A}.\tan{B}+\tan{B}.\tan{C}+\tan{C}$ .
Et d'un autre côté, on a selon l'inégalité de Caushy schwartz:
$maximum value Gif.latex?\begin{align*}(\sqrt{P}+\sqrt{Q}+\sqrt{R})^2&\le3\bigg((\sqrt{P})^2+(\sqrt{Q})^2+(\sqrt{R})^2\bigg)\\&=3(P+Q+R)\\&=3(5+\tan{A}.\tan{B}+5+\tan{B}.\tan{C}+5+\tan{C}.\tan{A})\\&=3\bigg(15+(\tan{A}.\tan{B}+\tan{B}.\tan{C}+\tan{C}$ .
Donc $maximum value Gif$ .
Il s'ensuit que la valeur maximale de $maximum value Gif$ est $maximum value Gif$ .
Ce maximum est attent si et seulement si $maximum value Gif$ .
Donc $maximum value Gif.latex?5+\tan{A}.\tan{B}=5+\tan{B}.\tan{C}=5+\tan{C}$ .
Soit $maximum value Gif.latex?\tan{A}.\tan{B}=\tan{B}.\tan{C}=\tan{C}$ .
Et puisque les réels A, B, et C sont supérieurs à 0, alors $maximum value Gif$ , $maximum value Gif$ , et $maximum value Gif$ .
Et par conséquent $maximum value Gif$ .
Et en vertu de $maximum value Gif$ , il vient $maximum value Gif$ .
CQFD.
Sauf erreur.

Jolie ta solution .
Bravo !

Habitué Nombre de messages : 27 Age : 34 Date d'inscription : 25/04/2011

Thanks NMO for very Nice solution Using Cauchy-Schwartz Method.

Now Here is My solution Using A.M >= G.M Inequality.

$maximum value Gif.latex?$If%20$\mathbf{A+B+C=\frac{\pi}{2}}$.%20Then%20$\mathbf{A+B=\frac{\pi}{2}-C}$\\\\%20$\mathbf{tan(A+B)=tan(\frac{\pi}{2}-C)\Leftrightarrow%20tanA.tanB+tanB.tanC+tanC.tanA=1}$\\\\%20Now%20$\mathbf{\left(\sqrt{P}+\sqrt{Q}+\sqrt{R}\right)^2=P+Q+R+2\sqrt{PQ}+2\sqrt{QR}+2\sqrt{RP}\leq%20P+Q+R+(P+Q)+(Q+R)+(R+P)}$\\\\%20So%20$\mathbf{\left(\sqrt{P}+\sqrt{Q}+\sqrt{R}\right)^2\leq%203.(P+Q+R)}$\\\\%20(Using%20$\mathbf{A.M\geq%20G.M}$)%20and%20Inequality%20hold%20When%20$\mathbf{P=Q=R}$\\\\%20$\mathbf{\Leftrightarrow%20\left(\sqrt{P}+\sqrt{Q}+\sqrt{R}\right)^2\leq%203.\left(5+tanA.tanB+5+tanB.tanC+5+tanC.tanA\right)\leq%203$