Question à propos de la dérivation:

Démontrez le le théorème suivant:
Soit f une fonction définie sur un intervalle I.
Si sa fonction dérivée est positive sur I, alors la fonction f est croissante sur I.
Bonne chance.
P.S: ce théorème est admis en cette année, et je suis curieux de savoir la démonstration.

C'est assez élementaire, la dérivée s'écrit sous forme de : . Si f' est positive alors pour tout x_{0} de I cette limite est positive, ensuite on discute les cas x>x_{0} et x<x_{0} et on en déduit.
J'espère que j'ai répondu à ta question.

Mehdi.O a écrit:

C'est assez élementaire, la dérivée s'écrit sous forme de : . Si f' est positive alors pour tout x_{0} de I cette limite est positive, ensuite on discute les cas x>x_{0} et x<x_{0} et on en déduit.
J'espère que j'ai répondu à ta question.

Comment, c'est ça le problème.

x>x_{0}=> f(x)>f(x_{0}) d'après le fait que la dérivée est positive et donc f est croissante.
x<x_{0}=> f(x)<f(x_{0}) d'après le fait que la dérivée est positive et donc f est croissante.

Mehdi.O a écrit:

x>x_{0}=> f(x)>f(x_{0}) d'après le fait que la dérivée est positive et donc f est croissante.
x<x_{0}=> f(x)<f(x_{0}) d'après le fait que la dérivée est positive et donc f est croissante.

Ce que tu écris est l'objet de la démonstration, et est ce qu'il faut démontrer mon cher.

Je crois que tu as mal saisi ce que j'ai fait.
Si la limite d'une fonction g quelconque alors g est positive à proximité de l'intervalle étudiée, ainsi en posant g(x)=/frac_{f(x)-f(x_{0})_{x-x_{0}} et la donnée f'(x)>=0 pour tout x de I équivaut à lim g(x) >=0 lorsque x tend vers un x_{0} quelconque de I, ainsi g elle-même est positive sur cette intervalle. Il s'ensuite que les deux quantités (f(x)-f(x_{0})) et x-x_{0} ont le même signe ce qui équivaut que f est croissante sur I.

Mehdi.O a écrit:

Je crois que tu as mal saisi ce que j'ai fait.
Si la limite d'une fonction g quelconque alors g est positive à proximité de l'intervalle étudiée, ainsi en posant g(x)=/frac_{f(x)-f(x_{0})_{x-x_{0}} et la donnée f'(x)>=0 pour tout x de I équivaut à lim g(x) >=0 lorsque x tend vers un x_{0} quelconque de I, ainsi g elle-même est positive sur cette intervalle. Il s'ensuite que les deux quantités (f(x)-f(x_{0})) et x-x_{0} ont le même signe ce qui équivaut que f est croissante sur I.

Ce qui est en rouge me semble faux (ou bien il nécessite une démonstration).
C'est le contraire qui est juste:
Si g admet une limite réélle en un point a de I et si g est positive, alors cette limite est positive.

Il me semble que j'avais déjà rencontré celle-ci et je crois qu'elle est juste.
Néanmoins, si on suppose que cette dernière l'est on pourrait conclure.

Mehdi.O a écrit:

Il me semble que j'avais déjà rencontré celle-ci et je crois qu'elle est juste.
Néanmoins, si on suppose que cette dernière l'est on pourrait conclure.

Elle est fausse, et je vais chercher un contre exemple.
Après une recherche judicieuse sur Internet, je te fais part de ce que j'ai trouvé:
url=http://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_monotone#Monotonie_et_signe_de_la_d.C3.A9riv.C3.A9e]http://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_monotone#Monotonie_et_signe_de_la_d.C3.A9riv.C3.A9e[/url].
Je vois bien maintenant pourquoi la démonstratuion ne figure pas dans le manuel.
Au plaisir.