svp,un exo d'arithmetiques

Problème

Soit a et b de IN et p de IP tel que: (a+b)^ab=p²
1) P.Q: p²/a² et deduire que p/a et p/b.
2) P.Q: a^b=p ou a^b=p².

Et merci d'avance.

.

salam YIRA
1)
on suppose que p²/a² ----> p²^a²=a²
----->(p^a)²=a²
-----> p^a=a
donc p/a
* (a+b)^ab=p² ---> p²/ab et p²/(a+b)
----> p²/((a+b)b-ab)
---->p²/b²
---->p/b

salam W.Elluizi
a^b= pgcd(a,b) ce n'est pas la puissance!!!!!!

salam
pour la deuxieme suestion
a^b/a et a^b/b
donc a^b/ab et a^b/a+b donc a^b/(a+b)^ab
--------->a^b/p² donc a^b = p ou a^b=p² (car p est premier)
bon courage

salam
j'ai utiliser dans la premiere question
(pgcd(a;b))^n= pgcd(a^n;b^n) ( ^= puissance) c'est facile a demontrer.
bon courage.

rachid92 a écrit:

salam YIRA
1)
on suppose que p²/a² ----> p²^a²=a²
----->(p^a)²=a²
-----> p^a=a
donc p/a
* (a+b)^ab=p² ---> p²/ab et p²/(a+b)
----> p²/((a+b)b-ab)
---->p²/b²
---->p/b

Pourquoi supposer que p²|a² si on nous demande de le prouver? Ne fallait-il pas dire plutôt que puisque (a+b) ∧ ab = p²
donc p²|a+b et p²|ab ⇒ p²|a²+ab et p²|ab ⇒ p²|a² et puis on déduit que p|a...

Amicalement

salam "kaj mima"
tu es raison .
merci!

rachid92 a écrit:

salam "kaj mima"
tu as raison .
merci!

Bonsoir
Ce n'est pas grave, de rien

rachid92 a écrit:

salam
pour la deuxieme suestion
a^b/a et a^b/b
donc a^b/ab et a^b/a+b donc a^b/(a+b)^ab
--------->a^b/p² donc a^b = p ou a^b=p² (car p est premier)
bon courage

C'est un exercice classique.
Pour ce qui est en rouge, tu as oublié le cas où PGCD(a,b)=1.

nmo a écrit:

rachid92 a écrit:

salam
pour la deuxieme suestion
a^b/a et a^b/b
donc a^b/ab et a^b/a+b donc a^b/(a+b)^ab
--------->a^b/p² donc a^b = p ou a^b=p² (car p est premier)
bon courage

C'est un exercice classique.
Pour ce qui est en rouge, tu as oublié le cas où PGCD(a,b)=1.

Cela est mentionné dans l'exercice (que le pgcd(a,b) ≠ 1), puisque la deuxième question demande de prouver que a^b = p ou a^b=p² , d'ailleurs c'est implicit ...

Heuu détrompez moi , mais a^b=1 est absurde vu qu'on a déjà montrer que p|a et p|b .

darkpseudo a écrit:

Heuu détrompez moi , mais a^b=1 est absurde vu qu'on a déjà montrer que p|a et p|b .

Eh oui, à vrai dire, puisque p est premier et p|a et p|b, a et b ont au moins 1 et p en commun (p≠1 car p est premier) donc pgcd(a,b)≠1...

kaj mima a écrit:

darkpseudo a écrit:

Heuu détrompez moi , mais a^b=1 est absurde vu qu'on a déjà montrer que p|a et p|b .

Eh oui, à vrai dire, puisque p est premier et p|a et p|b, a et b ont au moins 1 et p en commun (p≠1 car p est premier) donc pgcd(a,b)≠1...

Je pense qu'il faut le mentionner dans la solution, même s'il parait trivial.

nmo a écrit:

kaj mima a écrit:

darkpseudo a écrit:

Heuu détrompez moi , mais a^b=1 est absurde vu qu'on a déjà montrer que p|a et p|b .

Eh oui, à vrai dire, puisque p est premier et p|a et p|b, a et b ont au moins 1 et p en commun (p≠1 car p est premier) donc pgcd(a,b)≠1...

Je pense qu'il faut le mentionner dans la solution, même s'il parait trivial.

Oui, c'est ça