rquivalent d int

equivalent int Aujourd'hui à 13h04
salut
donner un équivatent de
u_n = int_{0}^{1}ln(1+t^n)dt

slt
indication poser : x^n = t
puis intégration par parties u(t) = (t+1)ln(t+1) - t et v(t) = t^(1/n - 1)
inverser la regle des Alpes !!
rep u_n ~(ln4 - 1) /n

rep ;
u_n équiv pi²/(12n)

Bonsoir, j'ai écrit une preuve sur la dernière résultat, qui est vrai que la première, voir ce fichier:


http://www.fichier-pdf.fr/2011/06/05/equiv-1/

merci

aissa a écrit:

equivalent int Aujourd'hui à 13h04
salut
donner un équivatent de
u_n = int_{0}^{1}ln(1+t^n)dt

Pour tout t€[0,1], n€N*, ln(1+t^n)=sum_{k=1}^{+00} (-1)^(k+1) t^(kn)/k qui est une série altérnée
===> |R_k|=< t^((k+1)n)/k+1=<1/(k+1) ( R_k le reste de la série)
===> la série converge uniformément sur [0,1] ( on peut alors intégrer terme à terme )

u_n= sum_{k=1}^{+00} (-1)^(k+1)/ k int_{0}^{1}t^(kn)dt =sum_{k=1}^{+00} (-1)^(k+1)/k(kn+1)

|pi²/12-nu_n|
= |sum_{k=1}^{+00} (-1)^(k+1)(1/k²- n/k(kn+1))|
= |sum_{k=1}^{+00} (-1)^(k+1)/k²(kn+1)|
=< (1/(n+1)) sum_{k=1}^{+00}1/k²
=pi²/6(n+1)

==> u_n=pi²/12n + o(1/n)

Question: Trouver le deuxième équivalent de (u_n)