problème N°59 de la semaine (11/12/2006-17/12/2006)

salut
chaque participant doit poster sa solution par E-MAIL

amateursmaths@yahoo.fr

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puis il poste le message suivant ici "solution postée"
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Merci

Bonjour
solution postée
A+
voici la solution d'abdelbaki attioui
Bonjour
On pose a=tan(A), b=tan(B) et c=tan(C).
tan(A+B+C)=tan(pi)=0 ==> tan(A+B)+tan(C)=0
==> a+b+c=abc
Les entiers a,b et c étant non nuls alors ab,ac et bc le sont
et on a : 1/bc+1/ac+1/ab=1. Donc, l'un de ces entiers =<3.
La symétrie des rôles permet de supposer que ab=<3 et a=<b.
==> a=1 et b=<3 (car a²=<3 ==> a=1).
si b=1 ==> 2+c=c impossible.
si b=2 ==> 3+c=2c ==>c=3
si b=3 ==> 4+c=3c ==>c=2
Donc {a,b,c}={1,2,3}

A+

slt
solution postee
solution non trouvée parmis mes mails (administration )

Bonjour
solution postée
A+
voici la solution d'oussama
bonjour
on sait: tgA=1 inplique A=45
tgB=2 inplique B=63.43494882
tgC=3 inplique c=71.5605...
45+63.43...+71.56=180
alors tga et b et c peuvent prendre 1 et 2 et 3

Bonjour
solution postée

voici la solution de selfrespect
salut
pour un triangle ABC on tan(A+B)=-tan(C)
==>tan(A)+tan(B)=tan(A)tan(B)tan(C)-tan(C)
==>a+b+c=abc (tan(A)=a et tan(B)=b et tan(C)=c)
==>(a,b,c)£{(1.2.3).(1.3.2).(2.3.1).(2.1.3).(3.2.1).(3.1.2)}
danc les mesures des tan des angles de ce triangle sont 1.2.3

Bonsoir
solution postée
voici la solution de khamaths
Bonsoir Samir

Posons: tg(A)= m ; tg(B)= n; et tg(C)=p
On a: tg(A+B) = [tg(A) +tg(B)]/[1-tg(A).tg(B)] = -tg(C)
Le problème revient à résoudre le système suivant: m+n =p(mn-1) (1)
m+p= n(mp -1) (2)
n+p=m(np -1) (3)
m+n+p = mnp (4)
vu le rôle symétrique que jouent m; n et p; supposons que: m<= n<=p
(1) ===> mn > 1
(4) ===> mnp <= 3p ===> mn <= 3
(*) mn = 2 ===>m =1 et n= 2 ou inversement ===> p =3
(*) mn = 3====>m= 1 et n =3 ou inversement ===> p = 2
Conclusion: les solutions sont : (1;2;3) et ses permutations

salam
soultion postée
IL VAUT MIEUX UNE TETE BIEN FAITE QU UNE TETE BIEN PLEINNE. MONTEIGNE.
voici la solution d'aissa
salut tout le monde
Aid mobarak pour tout les membres ainsi que les visiteurs du forum.
on a tan A, tanB est tanC entiers ; A+B+C=Pi
alors tanA , tanB , et tanC >= 1 et tanA+tanB=tanC(tanAtanB -1) alors deux qlq des 3 nb ne peuvent pas étre égaux à 1 ni à 3 et ils sont tous =<3 ; les trois nb ne peuvent pas étre égaux à 2.
alors le seul cas possible est tanA=1 , tanB=2 et tanC=3 ; A,B, et C jouent des roles symetrique, donc on a 6 ctiplets de solutions : (1,2,3) et les 5 autres permutations de {1,2,3}.

Salam
solution postée
voici la solution de Mahdi
tan(a)=1 tan(b)=-1 tan(c)=0

la solution officielle du problème N°59
On pose a=tan(A), b=tan(B) et c=tan(C).
tan(A+B+C)=tan(pi)=0
==> tan(A+B)+tan(C)=0
==> a+b+c=abc
Les entiers a,b et c étant non nuls alors ab,ac et bc le sont
et on a : 1/bc+1/ac+1/ab=1. Donc, l'un de ces entiers =<3.
La symétrie des rôles permet de supposer que ab=<3 et a=<b.
==> a=1 et b=<3 (car a²=<3 ==> a=1).
si b=1 ==> 2+c=c impossible.
si b=2 ==> 3+c=2c ==>c=3
si b=3 ==> 4+c=3c ==>c=2
Donc {a,b,c}={1,2,3}