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 problème N°59 de la semaine (11/12/2006-17/12/2006)

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oussama
aannoouuaarr
abdelbaki.attioui
samir
8 participants
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samir
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samir


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MessageSujet: problème N°59 de la semaine (11/12/2006-17/12/2006)   problème N°59 de la semaine (11/12/2006-17/12/2006) EmptyLun 11 Déc 2006, 11:46

problème N°59 de la semaine (11/12/2006-17/12/2006) Semainen59nu5
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samir
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samir


Nombre de messages : 1872
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MessageSujet: Re: problème N°59 de la semaine (11/12/2006-17/12/2006)   problème N°59 de la semaine (11/12/2006-17/12/2006) EmptyLun 11 Déc 2006, 11:47

salut
chaque participant doit poster sa solution par E-MAIL

amateursmaths@yahoo.fr

(Indiquer votre nom d'utilisateur dans la réponse envoyée )
puis il poste le message suivant ici "solution postée"
pour plus d'information voir les conditions de participation
Merci
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abdelbaki.attioui
Administrateur
abdelbaki.attioui


Masculin Nombre de messages : 2564
Localisation : maroc
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MessageSujet: Re: problème N°59 de la semaine (11/12/2006-17/12/2006)   problème N°59 de la semaine (11/12/2006-17/12/2006) EmptyLun 11 Déc 2006, 14:47

Bonjour
solution postée
A+
voici la solution d'abdelbaki attioui
Bonjour
On pose a=tan(A), b=tan(B) et c=tan(C).
tan(A+B+C)=tan(pi)=0 ==> tan(A+B)+tan(C)=0
==> a+b+c=abc
Les entiers a,b et c étant non nuls alors ab,ac et bc le sont
et on a : 1/bc+1/ac+1/ab=1. Donc, l'un de ces entiers =<3.
La symétrie des rôles permet de supposer que ab=<3 et a=<b.
==> a=1 et b=<3 (car a²=<3 ==> a=1).
si b=1 ==> 2+c=c impossible.
si b=2 ==> 3+c=2c ==>c=3
si b=3 ==> 4+c=3c ==>c=2
Donc {a,b,c}={1,2,3}

A+
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aannoouuaarr
Maître



Masculin Nombre de messages : 154
Age : 35
Localisation : meknes
Date d'inscription : 14/11/2006

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MessageSujet: Re: problème N°59 de la semaine (11/12/2006-17/12/2006)   problème N°59 de la semaine (11/12/2006-17/12/2006) EmptyLun 11 Déc 2006, 18:34

slt
solution postee
solution non trouvée parmis mes mails (administration )
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oussama
Débutant



Nombre de messages : 4
Date d'inscription : 30/11/2006

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MessageSujet: Re: problème N°59 de la semaine (11/12/2006-17/12/2006)   problème N°59 de la semaine (11/12/2006-17/12/2006) EmptyMar 12 Déc 2006, 12:32

Bonjour
solution postée
A+
voici la solution d'oussama
bonjour
on sait: tgA=1 inplique A=45
tgB=2 inplique B=63.43494882
tgC=3 inplique c=71.5605...
45+63.43...+71.56=180
alors tga et b et c peuvent prendre 1 et 2 et 3
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selfrespect
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selfrespect


Masculin Nombre de messages : 2514
Localisation : trou noir
Date d'inscription : 14/05/2006

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MessageSujet: Re: problème N°59 de la semaine (11/12/2006-17/12/2006)   problème N°59 de la semaine (11/12/2006-17/12/2006) EmptyMar 12 Déc 2006, 12:38

Bonjour
solution postée
farao
voici la solution de selfrespect
salut
pour un triangle ABC on tan(A+B)=-tan(C)
==>tan(A)+tan(B)=tan(A)tan(B)tan(C)-tan(C)
==>a+b+c=abc (tan(A)=a et tan(B)=b et tan(C)=c)
==>(a,b,c)£{(1.2.3).(1.3.2).(2.3.1).(2.1.3).(3.2.1).(3.1.2)}
danc les mesures des tan des angles de ce triangle sont 1.2.3
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khamaths
Maître



Nombre de messages : 98
Date d'inscription : 17/03/2006

problème N°59 de la semaine (11/12/2006-17/12/2006) Empty
MessageSujet: problème59   problème N°59 de la semaine (11/12/2006-17/12/2006) EmptyMer 13 Déc 2006, 19:26

Bonsoir
solution postée
voici la solution de khamaths
Bonsoir Samir

Posons: tg(A)= m ; tg(B)= n; et tg(C)=p
On a: tg(A+B) = [tg(A) +tg(B)]/[1-tg(A).tg(B)] = -tg(C)
Le problème revient à résoudre le système suivant: m+n =p(mn-1) (1)
m+p= n(mp -1) (2)
n+p=m(np -1) (3)
m+n+p = mnp (4)
vu le rôle symétrique que jouent m; n et p; supposons que: m<= n<=p
(1) ===> mn > 1
(4) ===> mnp <= 3p ===> mn <= 3
(*) mn = 2 ===>m =1 et n= 2 ou inversement ===> p =3
(*) mn = 3====>m= 1 et n =3 ou inversement ===> p = 2
Conclusion: les solutions sont : (1;2;3) et ses permutations
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aissa
Modérateur



Masculin Nombre de messages : 640
Age : 63
Localisation : casa
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MessageSujet: soluton postée du problème N°59   problème N°59 de la semaine (11/12/2006-17/12/2006) EmptyVen 15 Déc 2006, 16:02

salam
soultion postée
IL VAUT MIEUX UNE TETE BIEN FAITE QU UNE TETE BIEN PLEINNE. MONTEIGNE.
voici la solution d'aissa
salut tout le monde
Aid mobarak pour tout les membres ainsi que les visiteurs du forum.
on a tan A, tanB est tanC entiers ; A+B+C=Pi
alors tanA , tanB , et tanC >= 1 et tanA+tanB=tanC(tanAtanB -1) alors deux qlq des 3 nb ne peuvent pas étre égaux à 1 ni à 3 et ils sont tous =<3 ; les trois nb ne peuvent pas étre égaux à 2.
alors le seul cas possible est tanA=1 , tanB=2 et tanC=3 ; A,B, et C jouent des roles symetrique, donc on a 6 ctiplets de solutions : (1,2,3) et les 5 autres permutations de {1,2,3}.
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Weierstrass
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Weierstrass


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MessageSujet: Re: problème N°59 de la semaine (11/12/2006-17/12/2006)   problème N°59 de la semaine (11/12/2006-17/12/2006) EmptySam 16 Déc 2006, 12:35

Salam
solution postée
voici la solution de Mahdi
tan(a)=1 tan(b)=-1 tan(c)=0
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samir
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samir


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Date d'inscription : 23/08/2005

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MessageSujet: Re: problème N°59 de la semaine (11/12/2006-17/12/2006)   problème N°59 de la semaine (11/12/2006-17/12/2006) EmptyLun 18 Déc 2006, 09:47

la solution officielle du problème N°59
On pose a=tan(A), b=tan(B) et c=tan(C).
tan(A+B+C)=tan(pi)=0
==> tan(A+B)+tan(C)=0
==> a+b+c=abc
Les entiers a,b et c étant non nuls alors ab,ac et bc le sont
et on a : 1/bc+1/ac+1/ab=1. Donc, l'un de ces entiers =<3.
La symétrie des rôles permet de supposer que ab=<3 et a=<b.
==> a=1 et b=<3 (car a²=<3 ==> a=1).
si b=1 ==> 2+c=c impossible.
si b=2 ==> 3+c=2c ==>c=3
si b=3 ==> 4+c=3c ==>c=2
Donc {a,b,c}={1,2,3}
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MessageSujet: Re: problème N°59 de la semaine (11/12/2006-17/12/2006)   problème N°59 de la semaine (11/12/2006-17/12/2006) Empty

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