Hard

Trouvez tous le entiers positives (m,n) tel que 2^m = 3^n + n

.

Si n est impair , 3+n =2^(k) , ( ca te derangerait pas d'expliquer ce que t'as fait ici )

J'ai bien envie que tu fasses cela par valuation 2-adique mais le fait que tu écris 3+n=2^k
si n impair est faux d'après mon sens; en effet, il est bien pair mais pas une puissance de 2.
exemple: 3+3=6=2*3.
en tous cas je ne pense pas que ça change le résultat vu que v2(3+n)=v2(2^k * p) =k + 0 avec p impair.

sauf erreur

C'est impossible que n sois pair !! puisque s'il l'est 3^n + n sera impair , Donc il faut supposer que n est impair ce qui donne 3^2k+1 +2k+1 = 2^m !!
c ce qui me parrait

n.naoufal a écrit:

J'ai bien envie que tu fasses cela par valuation 2-adique mais le fait que tu écris 3+n=2^k
si n impair est faux d'après mon sens; en effet, il est bien pair mais pas une puissance de 2.
exemple: 3+3=6=2*3.
en tous cas je ne pense pas que ça change le résultat vu que v2(3+n)=v2(2^k * p) =k + 0 avec p impair.

sauf erreur

Désolé de te contredire mais 3+n est bien une puissance de 2 vu que n est impair , au fait j'avais mal lu l'énoncé , le problème en soit reste assez classique.

Tout à fait Misterayyoub le cas n pair non nul est impossible vu que dans ce cas:
3^n + n sera impair (3^n est impair par périodicité de 9^k) et 2^m ne l'est que pour m=1 or ça n'est pas égal à ce qui précède.

je t'ai donné un contre exemple 3+3= 2* 3 et non 2^??. et 3 est bien impair??
Sauf erreur.

n.naoufal a écrit:

Tout à fait Misterayyoub le cas n pair non nul est impossible vu que dans ce cas:
3^n + n sera impair (3^n est impair par périodicité de 9^k) et 2^m ne l'est que pour m=1 or ça n'est pas égal à ce qui précède.

Je crois que c'est plutot 3x9^k + 2k = 2^m -1 , ce qui est juste puisque LHS est impair et RHS aussi , reste a trouver k et m , c ca le probleme je crois

http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=56&t=409023
Une possible solution .

Bravo , meme si j'ai pas bien compri ( ln xD )

Ma solution n'est pas complète car j'ai du utiliser un logiciel vers la fin , mais bon je doute que cette equation ai une solution évidente , vu que dans R elle accepte bien plusieurs solution , dans le meilleurs des cas on peut esperer prouver qu'elle n'as pas de solution pour n>=7 et puis essayer pour chacun des n restants ( entre 0 et 6 ) mais ça aussi c'est pas du tout évident .