question

On veut demontrer le theoreme des valeurs intermédiaires .
soit f : I ---> IR une application continue ( I in tervalle de IR ) , (a,b)£I² tel que f(a)<= f(b). Alors :

pour tt µ £ [f(a),f(b)] ; il existe c £ I tq f(c)=µ .

Preuve :

on peut supposer que a<b.
le resultat est evident si µ=f(a) ou f(b)=µ , supp donc que f(a)<µ<f(b).
considerons F={x £ [a,b] ; f(x)<= µ . F est une partie de IR non vide ( a £ F) etmajorée ( par b ) donc F admet une borne sup , noté c . nous allons Mq f(c)=µ .

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là où je bloque ! pourquoi exactement f(c)=µ ?? comment peux-je apprecier ça intuitivement ??
merci

Le théorème de la valeur intermédiaire correspond à une notion intuitive : il n'est pas nécessaire de soulever son crayon pour dessiner le graphe de la fonction.
Topologiquement
Les connexes de sont les intervalles. L'ensemble de départ est donc un connexe. L'image d'un connexe par une fonction continue est un connexe. Donc l'image par f de [a,b] est un intervalle, ce qui démontre le théorème.
Algorithmiquement
Par dichotomie :
On coupe l'intervalle de départ en deux puis on conserve l'intervalle où se trouve une solution. On recommence ensuite en coupant en deux l'intervalle conservé, etc.
+ Théorèmes des intervalles emboîtés
On peut écrire un algorithme à l'aide de Maple en boucle récursive par exemple.

A la main:
je continuerai ce que t'as écrit : On a x £ [a,b] ; f(x)<=µ µpar passage à la borne sup ou x->c on obtient f(c)<= µ.
Ici par disjonction de cas : si c=b on est content
si ]c , b] est non vide alors x £ ]c,b] , f(x)> µ alors x->c on obtient f(c)>=µ
d'ou l'égalité.

merci naoufal c clair maintenant bon retour

Merci