f(x)=h(x)+g(x)

Montrer que si f est une fonction définie sur D . Donc il existe deux fonctions g et h tel que h est paire et g est impaire tel que f(x)=h(x)+g(x).

Soit f un fonction définie sur D.
Supposons qu'il existe h et g respectivement paire et impaire telles que :
f(x)=h(x)+g(x) (1)
f(x)=h(-x)-g(-x). Donc f(-x)=h(x)-g(x) (2) ET -f(-x)=g(x)-h(x) (3)
En sommant :
(1) et (2) : h(x)=[f(x)+f(-x)]/2
(1) et (3) : g(x)=[f(x)-f(-x)]/2
On vérifie que h est paire et g est impaire.
D'où la conclusion

Nayssi a écrit:

Soit f un fonction définie sur D.
Supposons qu'il existe h et g respectivement paire et impaire telles que :
f(x)=h(x)+g(x) (1)
f(x)=h(-x)-g(-x). Donc f(-x)=h(x)-g(x) (2) ET -f(-x)=g(x)-h(x) (3)
En sommant :
(1) et (2) : h(x)=[f(x)+f(-x)]/2
(1) et (3) : g(x)=[f(x)-f(-x)]/2
On vérifie que h est paire et g est impaire.
D'où la conclusion

Tu supposes ce que tu veux montrer (tu peux supposer le contraire de ce que tu veux démontrer (=l'absurde)), c'est faux.

En plus, tu es arrivé à un résultat que t'as déjà supposé ...

En d'autres mots on veut démontrer que f(x)=g(x)+h(x) tel que g(-x)=-g(x) et h(-x)=-h(x)

f(x)=g(x)+h(x) <=> f(x)+f(-x)=2g(x) <=> g(x) = [f(x)+f(-x)]/2 (1)

d'autre part f(x)-f(-x)=2h(x) <=> h(x) = [f(x)-f(-x)/2] (2)

en sommant (1) et (2) on trouve f(x) = h(x) +g(x)
puis on se certifie de la parité de g et h à partir des assertions qu'on a trouvées
Ce qui finit la démonstration

oui ...
p--->q
si p est vrai alors q peut être vrai comme elle peut être fausse

oups j'ai pas vu la solution de nayssi

il peut supposer ce qu'il veut montrer en allant par les équivalences

La solution de Nayssi est juste, ce genre de preuve s'appelle Analyse synthèse.
Il est l'un des fondamentaux raisonnement à savoir,
je vous copie ses principes et son application pris d'un site de tutorat :

Le raisonnement par analyse-synthèse est un type de raisonnement mathématique permettant de démontrer l'existence et l'unicité d'un objet vérifiant des propriétés données. Il se décompose en deux parties :

l'analyse : on suppose que l'objet existe et on essaie de trouver des conditions nécessaires que doit vérifier cet objet. Ce faisant, on prouve que si l'objet existe, alors il est nécessairement égal à une certain objet (ceci assure l'unicité).

la synthèse : on considère l'objet identifié dans la partie analyse, et on vérifie qu'il a bien les propriétés voulues (ceci assure l'existence).


On suppose que f=p+i, où p est paire et i est impaire. Fixons x dans R et calculons f(-x) :
f(-x)=p(-x)+i(-x)=p(x)-i(x)
puisque p est paire et i est impaire. Comme on a aussi
f(x)=p(x)+i(x)
on a en effectuant la somme des deux équations
p(x)=(f(x)+f(-x))/2
et, en effectuant la différence :
i(x)=(f(x)-f(-x))/2.
Ainsi, si p et i existent, ils s'écrivent nécessairement comme ci-dessus. Ceci montre l'unicité d'une décomposition, si elle existe, mais on n'a pas encore prouvé l'existence (d'ailleurs, notre raisomment a commencé par "On suppose qu'une décomposition existe..."). Pour prouver l'existence, on doit encore faire la
Synthèse : Posons
p(x)=(f(x)+f(-x))/2
et
i(x)=(f(x)-f(-x))/2.
Alors :
f=p+i : c'est évident.
p est paire : en effet, on a
p(-x)=(f(-x)+f(x))/2=(f(x)+f(-x))/2=p(x).
i est impaire : en effet, on a
i(-x)=(f(-x)-f(-x))/2=-(f(x)-f(-x))/2=-i(x).
Ceci prouve l'existence de la décomposition.

Merci pour vos réponses.