rg(M)=4-n

Bonjour,
Soient P et Q da C[X] : P(X)=X²+aX+b et Q(X)=X²+a'X+b'. On désigne par n le nombre des racines cmmunes à P et Q.

Montre que le rang de M: rg(M)=4-n.

AA++

oui ça marche ! Suffit de faire 3 cas.

Mais je ne connaissais pas, est-ce que c'est valable aussi pour le résultant
de deux polynômes arbitraires ? Et si oui la preuve ?

lolo

lolo a écrit:

...
Mais je ne connaissais pas, est-ce que c'est valable aussi pour le résultant
de deux polynômes arbitraires ?
...

Ceci m'a l'air vraiment intéressant! (Je n'avais pas reconnu le résultant dans le premier problème, parce que je ne connais pas très bien ce concept; je ne l'ai jamais utilisé en fait. )

Bon en fait c'est la transposée du résultant pour être honnête.
Et ceci détruit quasiment le problème.

lolo a écrit:

oui ça marche ! Suffit de faire 3 cas.

Non.
Travaille avec M^T plutôt que M.
Ensuite considère les vecteurs du type (1 x x^2 x^3 ...)^T.
Regarde quand M^T * un tel vecteur = 0.

lolo a écrit:

Mais je ne connaissais pas, est-ce que c'est valable aussi pour le résultant
de deux polynômes arbitraires ? Et si oui la preuve ?

Laisse-moi y réfléchir.
On doit s'assurer qu'aucun vecteur d'un type différent de (1 x x^2 ...) est dans le noyau.
Hmm, ces vecteurs ont la propriété que leurs coordonnées x_i satisfont deux récurrences :
x_i + ax_{i+1} + bx_{i+2} = 0
x_i + a'x_{i+1} + b'x_{i+2} = 0,
de même dans le cas général à 2 polynômes.
On doit prouver que si le noyau est de dimension k, alors il y a k racines communes, comptées avec multiplicité.
Le noyau = le noyau de M^T.

Bon, on peut considérer l'espace vectoriel (de dimension k) formé par nos suites récurrentes (x_i).
On recherche une base de cette espace formée par des suites géométriques (on utilise la même idée pour trouver la formule de Binet pour Fibonacci).
Si l'on peut en trouver une alors on a trouvé k vecteurs linéairement indépendants de la forme (1 x x^2 ...) dans le noyau de K^T et donc k racines communes de P et Q.
Sinon, alors on est dans un cas dégénéré, et on cherche des suites du genre (x_i = i t^i), (x_i = i^2 t^i) ,... ; la chose classique que l'on fait si l'équation caractéristique de la récurrence a des racines doubles.
Et le k maximal tel que toutes les suites (x_i = i^u t^i) avec 0 <= u <= k vérifient une récurrence est la multiplicité de t en tant que racine de l'équation caractéristique de la récurrence.
Donc au final on trouve k racines communes à P et Q comptées avec multiplicité.
Et on peut réciproquement faire le travail, donc, oui :
le corang (taille moins rang) de K est le nombre de zéros de P et Q comptés avec multiplicité.
Jolie observation lolo!