TDM - test 1 - Problème 2

Problème 2.
Soient a et b deux entiers strictement positifs tels que . Prouver que si est le plus grand entier tels que est divisble par ; Alors est paire.

Raisonnement par l'absurde ?

J'ai envoyé juste les pistes que j'ai trouvées.
Je pense qu'en supposant que k est impair on doit arriver à la contradiction que p= (ab+a-b-1)/(2^k) est pair, mais j'ai pas réussi à le faire.
Quelqu'un peut poster une solution?

ab=2^c-1
2^k|ab+a-b-1=(a-1)(b+1)
a=2^n. r+1 avec r>=0 et b=2^m. s-1 avec s>0
Pgcd(r,2)=pgcd(s,2)=1
2^k|ab+a-b-1=(a-1)(b+1)=2^[n+m] rs
Alors k=n+m
ab+1=2^c=(2^n . r+1)(2^m . s-1) +1
Alors 2^c= 2^(n+m) rs - 2 ^n . r +2^m . s
Si Min(n,m)=n<m
Alors 2^c= 2^n(2^m. rs - r +2^(m-n) . s)
Alors c=n et 2^m. rs - r +2^(m-n) . s=1
Car 2^m. rs - r +2^(m-n) . s est impair vu que r l’est.
2^m. rs - r +2^(m-n) . s=1 d’où
r(2^m. s-1) + 2^(m-n) s =1 impossible
Si min(m,n)=m <n alors pareil on tombe sur
2^n rs-2^(n-m) r + s = 1 impossible
D’ou n=m alors k=2n
Sauf erreur

Tres joli!

Solution:

Supposons que l'entier k est impaire, et montrant alors sa fauseté.
Il existe un entiér positif r tel que k=2r+1. a,b sont impaires si ab=2^n-1.
Et 2^k | (a-1)(b+1) <=> 4^r | 2^{n-1}+m-1 tel que 2m=a-b.
Si m est paire alors paire|impaire => r=0 . Si r est différent de 0, alors m est impaire.

Il existe t£IN* tel que 2^{n-1}+m-1 = t.4^r. On sait également, selon l'énoncé, que pour tout l£IN* : 2^{2r+1+l) ne dévise plus (a-1)(b+1). Alors t=1.

Si t=1 donc 2^{n-1} + m-1 = 4^r <=> (a-1)(b+1) = 4^r
Puisque a,b sont impaires, alors qu'il existe i,j de IN* tel que a-1=4^i et b+1=4^j et r=i+j.
Ainsi ab = (4^i+1)(4^j-1) = 2^n-1 , les solutions de cette équation classique en IN est i=j

ainsi 2^{4i}-1 = 2^n-1 => 4i=n , et puisque r=i+j=2i alors n=2r donc n+1=k.
D'autre part, a=4^i+1 et b=4^j-1 donc a=b+2

Revenant à l'équation du départ et remplaçant, on aura alors 2^{n+1}|2^n+1 qui est bel et bien contradiction, puisqu'on sait qu'il n'existe jamais un nombre paire divisant un nombre impaire et parceque 2^n+1<2^{n+1} pour tout n de IN*. Ce qui est absurde. Alors k est paire .

Sauf erreur .

Génial vos raisonnements n.naoufal et M.Marjani

llah ywafé9