f(1+x^2)=f(x)

trouver toutes les fcts continues de R ds R verifiant
f(1+x^2)=f(x)
merci

f est paire car f(-x)=f(1+(-x)²)=f(1+x²)=f(x)
je crois que f doit être constante
à suivre

personne?

Soit x>1,
On pose x_0=x
A={t€[0,1]/f(t)=f(x)} est non vide. Sinon,
x>1 ==> il existe x_1>0 tel que x_0=1+(x_1)²
==> f(x_1)=f(x) ==> x_1>1
il existe x_2>0 tel que x_1=1+(x_2)²
==> f(x_2)=f(x_1)=f(x) ==> x_2>1
Ainsi de suite, on construit une suite (x_n) telle que:
x_n=1+(x_(n+1))² et x_n>1
x_n-x_(n+1)=(x_(n+1))²-x_(n+1)+1>0 ==> (x_n) est strict décroissante.
==> (x_n) converge vers une réel a>=1
==> a²+1=a impossible. Donc A est non vide.
Donc m=inf(A) existe et m est dans A (A est fermé par continuité de f)
Montrer que m=0?

salut
la suite que vous avez donneé nest pas definis a partir d1 certain rang
on considere x_n+1=1+x_n^2+1
soit x une reel positif
alors il existe a £[0,1] et n£N /x_0=a et x_n=x
on peut monter que a est unique ds le cas generale
donc il faut definir f a lintervalle [0,1] comme on veut puis on conclus les valeurs de f(x) qd x£R

eto a écrit:

salut
la suite que vous avez donneé nest pas definis a partir d1 certain rang

Attention! l'hypothèse A vide permet de construire la suite

salut
g pas compris
mais A en generale contient un seul element

Explication :Soit x>1,
On pose x_0=x
A={t€[0,1]/f(t)=f(x)} est non vide. Sinon,
x>1 ==> il existe x_1>0 tel que x_0=1+(x_1)²
==> f(x_1)=f(x) ==> x_1>1 sinon x_1 serait dans A
il existe x_2>0 tel que x_1=1+(x_2)²
==> f(x_2)=f(x_1)=f(x) ==> x_2>1 sinon x_2 serait dans A
Ainsi de suite, on construit une suite (x_n) telle que:
x_n=1+(x_(n+1))² et x_n>1
x_n-x_(n+1)=(x_(n+1))²-x_(n+1)+1>0 ==> (x_n) est strict décroissante.
==> (x_n) converge vers une réel a>=1
==> a²+1=a impossible. Donc A est non vide.

Le problème est le suivant:
La fonction f possède t-elle une limite en +infini?

Si f possède une limite l finie en +infini alors f est clairement constante.
Et il est clair que f ne peut pas avoir une limite infinie en + infini.

Soit (x_n) une suite de limite +00.
Pour tout n, f(x_n)=f(a_n) avec a_n dans [0,1].
La suite possède une valeur d'adhérence a
==> la suite ( f(x_n)) admet f(a) comme valeur d'adhérence.

mais ca ne permet pas de dire que f admet une limite finie en +infini

Oui.
Une autre remarque:
f est bornée et inf et sup de f sur R=inf et sup f sur [0,1] . Donc f atteint ses bornes.

Bonjour ;
Soit g : [0,1] ----> IR une fonction continue telle g(0)=g(1)
et (an) la suite d'entiers définie par la relation récurrente a0=0 , an+1=1+an²
c'est une suite strictement croissante tendant vers +oo
On définit sur IR+ la fonction f par
f(x)=g(x) pour x dans [a0,a1[
f(x)=f(Racine(x-1)) pour x dans [an,an+1[
en prolongeant f par parité à IR je crois que f est solution du problème et il y'en a donc une infinité (suivant le choix de g)
(sauf erreur bien entendu)

oui c ça Mr elhor

Bravo Mr elhor
et les autres ???! c tres bien dommage, la fonction me semble evidente pour un polytechnicien !!! et Pseudo evidente pour un Prof
Bravo Mr elhor

Merci eto et najat et à bientôt sur le forum