ab divise a²+b²+1

trouver tous les pairs d'entiers a,b tel que ab divise a²+b²+1

Bonsoir :

Soit (a,b) un couple solution de cette équation tel que est minimal et

Maintenant prenons l'équation sous cette forme
est bien une solution de l'équation nommons la seconde solution alors on a c>=a pour respecter la minimalité de
et on aussi par la formule de Vièt de plus c=kb-a est un entier.
Remarquons alors que si le couple vérifie l'énoncé les couples et leurs permutations le vérifient aussi On peut supposer donc a>=b>0 ( a et b étant différents de 0 ) .

Mais alors on a

La suite dans l'autre post .

ta dernière implication est fausse...car on voit que (2,5) est une solution de l'exo et il y en a d'autres....une infinité.

Merci de me l'avoir montré voici la suite :
On a d'après notre égalité (1,1) et (1,2) représentent les solutions de base , et puisque k est rester constante on a alors k=(1+1+1)/1=3 et donc notre égalité devient :

en faisant quelques manipulation on trouve :

ou :
Je continuerai l'aprèm . Amicalement .

d'après tes arguments, je ne vois pas pourquoi k reste constante...

Désolé de répondre aussi tardivement , j'étais en voyage , mais tu as raison le truc c'est qu'on prenant une solution quelconque on peut construire une suite strictement décroissante de solution jusqu'a arrivé à la solution de base et ce sans touché au k , ce qui montre que k reste bien constant .
Pour la suite de la solution on ce ramène à des équation de Pell assez longue mais faisable , j'ai pas pu finir mais je pense que la forme des solution sera assez longue .

l'idée est juste pour montrer que k=3 mais il faut bien le rédiger, sinon les solutions prennent une forme bien connue

remarquant que si (a;b) est un couple solution du probleme alors (-a;-b); (-a;b) et (a;-b)
donc on peut supposer que a>=b>=0
si b=1 alors (a;b)=(1;1) et (2;1)
si a>=b>=1
soit d=pgcd(a;b) alor d divse 1 d'ou d=1
donc ab divise a²+b²+1 <=> (a divise b²+1) et (b divise a²+1)
d'ou b²+1=qa et a²+1=pb ou p et q sont des entiers naturels
d'autre part on sait que si p est un nobre premiers devisant a²+1 alors p=1(mod 4)
donc a;b=1 (mod 4)
(b²+1)²=q²(pb-1) <=> b*4 + b²(2-pq²)+q²+1=0 <=> delta=q²(p²-4p-4)=q²((p-2)²-
donc il exist un entier m tel que (p-2)²-m²=8 la suite est facile je pense

dans "b*4 + b²(2-pq²)+q²+1=0 <=> delta=q²(p²-4p-4)=q²((p-2)²" il n' y a pas une équivalence...
et la suite n'est pas facile que ça, j'aimerais bien la voir...tu n'as même pas fait la moitié...et on connais pas encore les solutions ...?

j'ai dis le reste facile car il faut seulement rsourdre des equations et utiliser la congruence mais toi monsieu 0000 tu ne sais plus tu sais seulement bavardé je t'expliquer comment avec la methode mat3echienne
(p-2)²-m²=8 <=> (p;m)=(5;1) ;(5;-1) ; (-1;1) ; (-1;-1) le fait que p est un entier naturel donne (p;m)=(5;1) (5;-1)
dans les 2 cas on a 2b²+2=5q²-q ou 5q²+q
si 2b²+2=pq²+q comme q divise b²+1 alors q=1 (mod 4)
alors 2+2=1+1 (mod 4) ce qui est absurde
si 2b²+2=5q²-q alors 2(b²+1)=2qa=5q²-q<=> 2a=5q-1
mais 2a=2 (mod 4) et 5q-1=0 (mod 4)
donc les seuls solutions sont (1;1) (1;-1) (-1;-1) (-1;1) (2;1) (1;2 ) (-1;2) (-1;-2) (-2;1) (-2;-1)

on voit que (2,5) et (5,13) sont des solutions de l'exo, donc ta methode mat3echienne me semble un peu moins efficace ... d'abord essaye de trouver ou est la faute dans ton raisonnement avant de résoudre l'exo...oups désolé, j'aime bavarder....

ah we t'a raison mais la methode mat3echienne ne se casse po
hh vraiment tu es un 0 monsieu 0000

Mr Spit arrête de dire des conneries w écoute 0000
Chouf les méthode met3echienne ne peuvent pas te faire gagner plus d'un million .. mnt que tu l'a dépensé il te faut des nouveau bouquin mhm ntla9aw ghda bach ndbér 3la khouya .
Aji bé3da fin térté9ti dak lmlioon

effectivement comme l'a affirmé 0000 l'idée c'est de montrer que k=3 et c'était un problème discuté ici http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?p=849194&sid=460d4c589b1d00d39201756b6cc60311#p849194 . Maintenant il suffit d'ecrire l'equation sous cette forme en tenant compte de la parité de et si ils ont la même parité alors, il suffit donc de résoudre l'equation et qui admet comme solution particulière , on obtient ainsi une infintié de solution dont la forme est bien connue, si et n'ont pas la même parité alors on peut écrire l'equation sous la forme et on se ramène ainsi à résoudre l'equation qui admet (2,1) comme solution , et alors on peut conclure l'ensemble des solutions du problème

PS: j'ai honte de voir ce genre de commentaires dans ce topic alors que 0000 ne mérite pas de recevoir de telles réponses...ca n'a absolument aucun sens de se comporter ainsi...essayez de valoriser la présence de 0000 dans ce forum

C'est bien cela deux équations de Pell , par contre j'avais pas du tout fais le rapprochement avec les nombres de Fibonacci . Amicalement .