xyz=1

x,y et z sont des réels strictement positifs dont le produit vaut 1.
Montrer que x/(1+y)+y/(1+z)+z/(1+x) >=3/2

X a écrit:

x,y et z sont des réels strictement positifs dont le produit vaut 1.
Montrer que x/(1+y)+y(1+z)+z/(1+x) >=3/2

je pense qu il ya une erreure dans l enoncé car
A=x/(1+y)+y(1+z)+z/(1+x)>=3racincubique(xyz/(x+1)(y+1)(z+1))
==>A>3(1/(x+1)(y+1)(z+1))"' (x"'=racine cubique de x)
on a x+1>=2x" et y+1>=2y" et z+1>=2z" (x"=racine carée de x)
donc (x+1)(y+1)(z+1)>=8(xyz)"=8 ,(xyz=1)
==>((x+1)(y+1)(z+1))">=2
==>3/2>=A

Il n' y a pas d'erreur dans l'énoncé!

X a écrit:

Montrer que x/(1+y)+y(1+z)+z/(1+x) >=3/2

merci de verfier si c'est y(1+z) ou y/(1+z)

slt a tout le monde
c vrai ya une erreur dns l'ennonce
c y/1+z

salut
dapres cauchy on a
S(x+xy+y+yz+z+zx)>=(x+y+z)^2
il suffit de m q 2(x+y+z)^2>=3(x+y+z+xy+yz+zx)
c a d 2(x^2+y^2+z^2)+xy+yz+zx>=3(x+y+z)
on a x^2+y^2+z^2>=xy+yz+zx
dou 2(x^2+y^2+z^2)+xu+uz+zx>=(x+y+z)^2
il suffit de m q (x+y+z)^2>=3(x+y+z)
c a d x+y+z>=3 ce ki est vrai avec la IAG

On peut généraliser l'inégalité : on a pour tous x,y,z,a>0
x/(a+y)+y/(a+z)+z/(a+x) >= 3r(xyz)/{a+r(xyz)}
où r(x) est la racine cubique de x.

Par I.A.G il suffit de montrer que
a+r(xyz)>= r((a+x)(a+y)(a+z))
<==> a^3+3a²r(xyz)+3ar(xyz)²+xyz>=(a+x)(a+y)(a+z)
<==> 3ar(xyz)+3r(xyz)²>=a(x+y+z)+(xy+xz+yz)

abdelbaki.attioui a écrit:

Par I.A.G il suffit de montrer que
a+r(xyz)>= r((a+x)(a+y)(a+z))
<==> a^3+3a²r(xyz)+3ar(xyz)²+xyz>=(a+x)(a+y)(a+z)
<==> 3ar(xyz)+3r(xyz)²>=a(x+y+z)+(xy+xz+yz)

Mais la dérnière inégalité n'est pas vraie!!!! donc ta méthode ne marche pas.