le signe "!=" veut dire "different"
les applications de A dans A qui satifaient la condition f^3 = id, sont des bijections, donc ce sont des permutations de l'ensemble A (que je noterai S(A)), or l'ensemble des permutations de A est un groupe fini de cardinal 4! = 24.
lemme : f est une solution de l'equation avec f != id, ssi il existe un unique x de A tel que f(x) = x.
Preuve :
1) supposons que f est une solution de l'equation, et differente de id.
f étant differente de id, elle ne peut conserver qu'au maximum 2 element, supposons qu'elle n'en conserve aucun, cad {x de A/f(x) = x} est vide.
alors pour tout x de A f(x) != x,
soit x un element de A donc f(x) != x
f^2(x) != f(x) et
x = f^3(x) != f^2(x)
donc x,f(x) et f^2(x) sont 2 a 2 different, soit
Y = {x,f(x),f^2(x)}
considérons alors Z = A\Y, on sait que card(Y) = 3, et
card(A) = 4, et Y est inclus dans A, donc Z={z} avec z un element de A.
calculons f(z), f(z) != z donc f(z) est un element de Y, or pour tout element y de Y, f^-1(y) est un element de Y donc z appartient a Y, ce qui est contradictoire avec Z=A\Y.
C/C 1: f doit au moins conserver un element.
Supposons maintenat que f conserve 2 element de A, cad card{x de A/ f(x) = x} = 2.
alors f est une transposition Ti,j (i != j)(elle ne fait que permuter deux elements de A), or pour tout i et j (i != j) de A
Ti,j^3(i) = j != i, alors f^3 != id ce qui est absurde.
C/C 2: f ne peut conserver 2 element
C/C : il existe un unique x de A tel que f(x) = x CQFD.
2) supposons qu'il existe un unique x tel que f(x) = x.
soit Z = A\{x} et z un element de Z.
alors f(z) != z et f^2(z) != f(z) et f^3(z) != f^2(z) (car f(z) != f(x) = x et f^2(z) != f^2(x) = x)
si f^2(z) = z, soit {y} = A\{x,z,f(z)}
on f(y) != f(x)
f(y) != f(z)
f(y) != f^2(z) = z
donc f(y) = y d'ou y =x ce qui est absurde
C/C 1: f^2(z) != z
calculons f^3(z).
on a A = {x,z,f(z),f^2(z)}.
or f^3(z) != f^3(x) = x et f^3(z) != f^2(z) et f^3(z) != f(z) (car f^2(z) != z)
Donc f^3(z) = z.
alors pour tout element z de Z f^3(z) = z et donc pour tout x de A f^3(x) = x d'ou f^3 = id.
C/C f est solution de l'equation CQFD.
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Il suffit donc de compter les applications qui ne conserve qu'un seul element de A, ce qui revient a chaque fois de fixer un element et de chercher les permutations sur les trois autres qui ne conservent aucun element, ca en fait deux pour chaque element (c pas la peine de faire une demonstration car c evident et en plus g sommeil)
et donc ca fait 8 applications + l'identité ce qui fait au total 9 applictions qui resolvent l'equation.
PS : merci rim pour le problème j'y ai travaillé pendant 2h.