exo d'un olympiade

soit a,b,c les longeurs d'un triangle ; a+b+c=1
Montrez que : a²+b²+c²+4abc<1/2

Ma Solution :
Nous avons : 1=a+b+c>2aet ainsi a,b,c <1/2
Ce qui donne (a-1/2)(b-1/2)(c-1/2)<0, ainsi abc +1/4(a+b+c) -1/2(ab+ac+bc) -1/8<0 , ou encore puisque 1=(a+b+c)²=a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc et ainsi :
4abc+1-1/2+a²+b²+c²-1<0 et ainsi on obtient : a²+b²+c²+4abc<1/2.

(5/6) +(1/12) +(1/12)=1 mais 5/6 n'est pas inferieur a 1/2

nizar a écrit:

(5/6) +(1/12) +(1/12)=1 mais 5/6 n'est pas inferieur a 1/2

Tu dois considerer les longueurs d'un triangle et non des valeurs quelconque
(la condition c+b>a respectivement a+c>b et b+a>c est necessaire )
les valeurs que tu as donne ne repondent po a cette condition
En effet si tu considere a,b;c les longueurs d'un triangle
suposons que l'une des longueurs est superieur a 1/2 (par exemple a et respectivement b et c) tt en considerant le fait que a+b+c=1
on aura b+c=<1/2
mais on a b+c>a>=1/2 COntradiction
d'ou a,b,c<1/2

Je crois qu'on l'a dèja démontré