Je présente mes solutions :
Solution au problème 2:Soit P(x,y) l'assertion : f(x²-(f(y))²)=xf(x)-y²
P(f(0),0):f(0)=f(0).f(f(0)) Soit f(0)=0 ou f(f(0))=1.
Supposons que f(f(0))=1.
P(0,f(0)) f(-1)=-(f(0))²
P(-1,f(0)) f(0)=-f(-1)-(f(0))² Ainsi f(0)=0
Ce qui donne 0=f(0)=f(f(0))=1 Contradiction !!
Ainsi f(0)=0
P(x,0): f(x²)=xf(x) pour tout x £ IR
Supposons qu'il existe un a#0 t.q : f(a)=0
P(a,a):f(a²)=-a²=af(a)=0 ainsi f(x)=0<=>x=0.
Soit y un réel non nul, nous avons f(y)=f(y²)/y=f((-y)²)/y=-f(-y) ainsi f est impaire.
P(x,y): f(x²-(f(y))²)=f(x²)-y²
P(f(y),y): y²=f((f(y))²), ainsi f est surjective sur IR+
Et puisque f est impaire donc surjective sur IR.
Ainsi f est est positive sur IR+ et négative sur IR-.(*)
Soit y un réel positif on pose y=V(f(x²))
Ainsi : f(x²-(f(V(f(x²)))²)=0 => f(Vf(x²))²=x² et d'après (*) on trouve pour tout x>=0 :
x=f(V(f(x²))=f(f(x²))/V(f(x²) (1)
P(f(y),y) pour tout y £IR y²=f(f(y)).f(y), ainsi d'après (1) on obtient :
x.Vf(x²).f(x²)=x^4 => f(x²)=x² ainsi pour tout x £ IR+ nous avons f(x)=x et puisque f est impaire on obtient l'identité sur IR.
Réciproquement l'identité vérifie l'E.F.
Solution au problème 3:On utilise le lemme suivant :
Soit un n>0 un entier. Parmi m entiers consécutifs nous avons E(m/n) multiples de n.
Parmi 5 entiers consécutifs nous avons :
5 entiers qui sont pairs i.e: multiples de 2.
3 entiers qui sont divisibles par 3 ( notamment au moins un d'entre eux est impair et au plus deux le sont).
2 entiers qui sont divisibles par 5 ( notamment un impair)
1 entier divisible par 7.
Nous nous limitons à ces nombres premiers vu que pour chaque nombre premier p>=11 il n'existe qu'un seul entier qui serait multiple de p et donc inutile de traiter ce cas.
Maintenant on cherche cet entier qui est premier avec les 9 autres.
On traite juste le cas ou seulement un entier multiple de 3 est impair ( l'autre cas est plus facile à traiter et analogue)
Nécessairement il est impair sinon son pgcd avec les autres pairs serait 2. Ainsi il reste à choisir parmi ces 5 restants. On omet celui qui est divisible par 3. Si ce dernier est multiple de 105 (i.e de 5 et de 7 vu que pgcd(5,3)=1) ainsi les 4 nombres restants répondent à la question. Si ce dernier est multiple de 15 ou bien de 21 alors il reste un seul entier qui est multiple de 7 et les 3 autres répondent à la question. Sinon si ce dernier admet un seul diviseur premier ( qui est 3) inférieur ou égal à 11, donc il nous reste 4 entiers à traiter. On a un entier multiple de 5 si ce dernier est multiple de 35 alors il reste 3 entiers ceux-là répondent à la question. Sinon, nous avons un entier divisible par 5 et un autre par 7, les deux autres n'admettent aucun diviseur premier inférieur ou égal à 11, et ainsi ils sont de nouveau premiers avec les autres.
Si nous avons le cas où deux entiers impairs sont divisibles par 3 alors on suit le même raisonnement et on tombe sur un seul entier qui est premier avec les 9 autres.
Solution au problème 4:
Il est bien clair que les deux quadrilatères BQMC et BPNC sont inscriptibles. On note X l'intersection de MN avec BC, le quadrilatère BANX est inscriptible de même. Ainsi : angle{PNQ}=180-angle{PNC}=angle{ABC}=angle{MBC}=angle{MQN} ainsi MQ||PN. D'autre part, angle{MNQ}=180-angle{ANX}=angle{ABC}=angle{MQN} ainsi le triangle MQN est isocèle. D'autre part, angle{PMN}=anle{BMX}=90-angle{ABC}=angle{ACB}=180-angle{BPN}=angle{MPN} ainsi le triangle MPN est isocèle aussi ainsi A est le milieu de MP et QN et ainsi le quadrilatère QMNP est un parallélogramem mais puisque les diagonales sont perpendiculaires alors c'est un losange et ainsi : angle {PQM}=2angle{NQM}=2angle{ABC} et ainsi l'angle PQM est constant et ne dépend pas de la droite (D).
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